प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि cos((π)/(3)) = (1)/(2) होता है और cos^(-1) की मुख्य शाखा का परिसर [0, π] है। इसी प्रकार, sin((π)/(6)) = (1)/(2) होता है और sin^(-1) की मुख्य शाखा का परिसर [-(π)/(2), (π)/(2)] है।

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि cos((π)/(3)) = (1)/(2) होता है और cos^(-1) की मुख्य शाखा का परिसर [0, π] है। इसी प्रकार, sin((π)/(6)) = (1)/(2) होता है और sin^(-1) की मुख्य शाखा का परिसर [-(π)/(2), (π)/(2)] है।

प्राप्त मुख्य मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। यहाँ 2 × (π)/(6) = (π)/(3) प्राप्त होता है, जिसे (π)/(3) में जोड़ने पर परिणाम (2π)/(3) आता है।

प्राप्त मुख्य मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। यहाँ 2 × (π)/(6) = (π)/(3) प्राप्त होता है, जिसे (π)/(3) में जोड़ने पर परिणाम (2π)/(3) आता है।

खण्ड (ख) में व्यंजक cot^(-1)((1)/(√(x² - 1))) दिया गया है, जहाँ x > 1 है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - 1 = tan²θ का उपयोग करने के लिए हम x = secθ मान लेते हैं, जहाँ 0 < θ < (π)/(2) है।

खण्ड (ख) में व्यंजक cot^(-1)((1)/(√(x² - 1))) दिया गया है, जहाँ x > 1 है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका sec²θ - 1 = tan²θ का उपयोग करने के लिए हम x = secθ मान लेते हैं, जहाँ 0 < θ < (π)/(2) है।

चूँकि x > 1 है, इसलिए θ प्रथम चतुर्थांश में है, जहाँ tanθ > 0 होता है। अतः √(x² - 1) = tanθ प्राप्त होता है।

चूँकि x > 1 है, इसलिए θ प्रथम चतुर्थांश में है, जहाँ tanθ > 0 होता है। अतः √(x² - 1) = tanθ प्राप्त होता है।

हम जानते हैं कि (1)/(tanθ) = cotθ होता है। अतः cot^(-1)(cotθ) = θ हो जाता है। अंत में θ के स्थान पर sec^(-1)x रखने पर व्यंजक का सरलतम रूप प्राप्त होता है।

हम जानते हैं कि (1)/(tanθ) = cotθ होता है। अतः cot^(-1)(cotθ) = θ हो जाता है। अंत में θ के स्थान पर sec^(-1)x रखने पर व्यंजक का सरलतम रूप प्राप्त होता है।

(ग) समुच्चय $N$ में संबंध $R$ निम्नवत् परिभाषित है $R = \{(x, y) : y = x + 5, y > 5\}$ तब निम्नलिखित में से कौन (a) $(6, 10) \in R$ (b) $(3, 6) \in R$ (c) $(4, 9) \in R$ (d) $\dots$ (घ) $\int_0^{\pi/4} \sin^3 2x \cos 2x \, dx$ का मान है (a) $\frac{1}{2}$ (b) $\frac{1}{4}$ (c) $\frac{1}{8}$ (ङ) असंभव घटनाओं की प्रायिकता होती है (a) $0$ (b) $\frac{1}{2}$ (c) $\frac{1}{3}$ 2. निम्नलिखित सभी खण्डों को हल कीजिए। (क) $\cos^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + 2\sin^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए। (ख) $\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right), x > 1$ को सरलतम रूप में लिखिए।

उत्तर: (क) $\frac{2\pi}{3}$ (ख) $\sec^{-1}x$

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: खण्ड (क): मुख्य मान ज्ञात करना

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के मुख्य मान ज्ञात करने के लिए, हम जानते हैं कि $\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ होता है और $\cos^{-1}$ की मुख्य शाखा का परिसर $[0, \pi]$ है। इसी प्रकार, $\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$ होता है और $\sin^{-1}$ की मुख्य शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।

चरण 2: खण्ड (क): व्यंजक का मान परिकलित करना

प्राप्त मुख्य मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं। यहाँ $2 \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है, जिसे $\frac{\pi}{3}$ में जोड़ने पर परिणाम $\frac{2\pi}{3}$ आता है।

चरण 3: खण्ड (ख): उचित प्रतिस्थापन चुनना

खण्ड (ख) में व्यंजक $\cot^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right)$ दिया गया है, जहाँ $x > 1$ है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^2\theta - 1 = \tan^2\theta$ का उपयोग करने के लिए हम $x = \sec\theta$ मान लेते हैं, जहाँ $0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ है।

चरण 4: खण्ड (ख): करणी को सरल करना

चूँकि $x > 1$ है, इसलिए $\theta$ प्रथम चतुर्थांश में है, जहाँ $\tan\theta > 0$ होता है। अतः $\sqrt{x^2 - 1} = \tan\theta$ प्राप्त होता है।

चरण 5: खण्ड (ख): सरलतम रूप प्राप्त करना

हम जानते हैं कि $\frac{1}{\tan\theta} = \cot\theta$ होता है। अतः $\cot^{-1}(\cot\theta) = \theta$ हो जाता है। अंत में $\theta$ के स्थान पर $\sec^{-1}x$ रखने पर व्यंजक का सरलतम रूप प्राप्त होता है।

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