हम मान लेते हैं कि √5 - √2 एक परिमेय संख्या r है, जहाँ r एक शून्येतर परिमेय संख्या है।

हम मान लेते हैं कि √5 - √2 एक परिमेय संख्या r है, जहाँ r एक शून्येतर परिमेय संख्या है।

सूत्र (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर, (√5)² - 2(√5)(√2) + (√2)² = 5 - 2√10 + 2 = 7 - 2√10 प्राप्त होता है।

सूत्र (a - b)² = a² - 2ab + b² का प्रयोग करने पर, (√5)² - 2(√5)(√2) + (√2)² = 5 - 2√10 + 2 = 7 - 2√10 प्राप्त होता है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि √10 एक तरफ आ जाए। 2√10 = 7 - r², इसलिए √10 = (7 - r²)/(2) प्राप्त होता है।

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि √10 एक तरफ आ जाए। 2√10 = 7 - r², इसलिए √10 = (7 - r²)/(2) प्राप्त होता है।

दो अंकीय प्रश्न: इनमें से किन्हीं पाँच प्रश्नों के उत्तर दें: (16) सिद्ध करें $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है। (17) साबित करें कि कोई भी धनात्मक सम पूर्णांक $4q$ या $4q + 2$ के रूप का होता है। जहाँ $q$ एक पूर्णांक है। (18) जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या $4^n$ का अंक शून्य पर समाप्त होती है। (19) यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके निम्न का HCF (म० स०) निकालें: (i) $135, 255$ (ii) $455, 42$ (iii) $250, 425$ (iv) $156, 504$ (20) अभाज्य गुणनखंड विधि से निम्न का HCF तथा LCM ज्ञात करें: (i) $250, 175, 425$ (ii) $120, 240, 180$ (iii) $140, 50, 60$ (iv) $15, 10, \dots$

Answer: अतः सिद्ध हुआ कि $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

Step-by-step solution

Step 1: विरोधाभास विधि से परिमेय मानना

हम मान लेते हैं कि $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ एक परिमेय संख्या $r$ है, जहाँ $r$ एक शून्येतर परिमेय संख्या है।

Step 2: दोनों पक्षों का वर्ग करना

समीकरण के दोनों पक्षों का वर्ग करते हैं। इससे हमें वर्गमूल के पदों को सरल करने में मदद मिलेगी।

Step 3: विस्तार और सरलीकरण

सूत्र $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ का प्रयोग करने पर, $(\sqrt{5})^2 - 2(\sqrt{5})(\sqrt{2}) + (\sqrt{2})^2 = 5 - 2\sqrt{10} + 2 = 7 - 2\sqrt{10}$ प्राप्त होता है।

Step 4: $\sqrt{10}$ को अलग करना

समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हैं ताकि $\sqrt{10}$ एक तरफ आ जाए। $2\sqrt{10} = 7 - r^2$ , इसलिए $\sqrt{10} = \frac{7 - r^2}{2}$ प्राप्त होता है।

Step 5: विरोधाभास और निष्कर्ष

चूँकि $r$ परिमेय है, इसलिए $r^2$ और $\frac{7 - r^2}{2}$ भी एक परिमेय संख्या होगी। लेकिन हम जानते हैं कि $\sqrt{10}$ एक अपरिमेय संख्या है। एक अपरिमेय संख्या कभी भी परिमेय संख्या के बराबर नहीं हो सकती। अतः हमारी कल्पना गलत है, इसलिए $\sqrt{5} - \sqrt{2}$ एक अपरिमेय संख्या है।

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