माना y = (sin(ax + b))/(cos(cx + d))। दो फलनों के भागफल के अवकलन के लिए हम भागफल नियम (d)/(dx)((u)/(v)) = v (du)/(dx) - u (dv)/(dx)v² का उपयोग करते हैं, जहाँ u = sin(ax + b) और v = cos(cx + d) है।

माना y = (sin(ax + b))/(cos(cx + d))। दो फलनों के भागफल के अवकलन के लिए हम भागफल नियम (d)/(dx)((u)/(v)) = v (du)/(dx) - u (dv)/(dx)v² का उपयोग करते हैं, जहाँ u = sin(ax + b) और v = cos(cx + d) है।

श्रृंखला नियम से u = sin(ax + b) का अवकलज cos(ax + b) · (d)/(dx)(ax + b) = acos(ax + b) होता है। इसी प्रकार v = cos(cx + d) का अवकलज -sin(cx + d) · (d)/(dx)(cx + d) = -csin(cx + d) होता है।

श्रृंखला नियम से u = sin(ax + b) का अवकलज cos(ax + b) · (d)/(dx)(ax + b) = acos(ax + b) होता है। इसी प्रकार v = cos(cx + d) का अवकलज -sin(cx + d) · (d)/(dx)(cx + d) = -csin(cx + d) होता है।

पहले पद में (cos(cx + d))/(cos²(cx + d)) = (1)/(cos(cx + d)) = sec(cx + d) प्राप्त होता है। दूसरे पद में (sin(cx + d))/(cos²(cx + d)) = (sin(cx + d))/(cos(cx + d)) · (1)/(cos(cx + d)) = tan(cx + d)sec(cx + d) प्राप्त होता है।

पहले पद में (cos(cx + d))/(cos²(cx + d)) = (1)/(cos(cx + d)) = sec(cx + d) प्राप्त होता है। दूसरे पद में (sin(cx + d))/(cos²(cx + d)) = (sin(cx + d))/(cos(cx + d)) · (1)/(cos(cx + d)) = tan(cx + d)sec(cx + d) प्राप्त होता है।

प्रश्नावली 5.2 प्रश्न 1 से 8 में $x$ के सापेक्ष निम्नलिखित फलनों का अवकलन कीजिए: 1. $\sin(x^2 + 5)$ 2. $\cos(\sin x)$ 3. $\sin(ax + b)$ 4. $\sec(\tan(\sqrt{x}))$ 5. $\frac{\sin(ax + b)}{\cos(cx + d)}$ 6. $\cos x^3 \cdot \sin^2(x^5)$ 7. $2\sqrt{\cot(x^2)}$ 8. $\cos(\sqrt{x})$ 9. सिद्ध कीजिए कि फलन $f(x) = |x - 1|, x \in \mathbf{R}, x = 1$ पर अवकलित नहीं है। 10. सिद्ध कीजिए कि महत्तम पूर्णांक फलन $f(x) = [x], 0 < x < 3, x = 1$ तथा $x = 2$ पर अवकलित नहीं है।

Answer: $a\cos(ax + b)\sec(cx + d) + c\sin(ax + b)\tan(cx + d)\sec(cx + d)$

Step-by-step solution

Step 1: मानना और भागफल नियम लिखना

माना $y = \frac{\sin(ax + b)}{\cos(cx + d)}$ । दो फलनों के भागफल के अवकलन के लिए हम भागफल नियम $\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}$ का उपयोग करते हैं, जहाँ $u = \sin(ax + b)$ और $v = \cos(cx + d)$ है।

Step 2: अंश और हर के अवकलज ज्ञात करना

श्रृंखला नियम से $u = \sin(ax + b)$ का अवकलज $\cos(ax + b) \cdot \frac{d}{dx}(ax + b) = a\cos(ax + b)$ होता है। इसी प्रकार $v = \cos(cx + d)$ का अवकलज $-\sin(cx + d) \cdot \frac{d}{dx}(cx + d) = -c\sin(cx + d)$ होता है।

Step 3: भागफल सूत्र में मान प्रतिस्थापित करना

भागफल नियम के सूत्र में $u, v, \frac{du}{dx}$ और $\frac{dv}{dx}$ के मान रखने पर हमें यह व्यंजक प्राप्त होता है। अंश में दोनों ऋणात्मक चिह्न मिलकर धनात्मक हो जाएँगे।

Step 4: व्यंजक को अलग-अलग पदों में विभाजित करके सरल करना

अंश के दोनों पदों को हर $\cos^2(cx + d)$ से अलग-अलग विभाजित करते हैं ताकि व्यंजक को त्रिकोणमितीय अनुपातों के रूप में सरलीकृत किया जा सके।

Step 5: अंतिम रूप में लिखना

पहले पद में $\frac{\cos(cx + d)}{\cos^2(cx + d)} = \frac{1}{\cos(cx + d)} = \sec(cx + d)$ प्राप्त होता है। दूसरे पद में $\frac{\sin(cx + d)}{\cos^2(cx + d)} = \frac{\sin(cx + d)}{\cos(cx + d)} \cdot \frac{1}{\cos(cx + d)} = \tan(cx + d)\sec(cx + d)$ प्राप्त होता है।

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