**प्रश्नावली 9.2** 1. तथा त्रिज्या वाले दो वृत्त दो बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं तथा उनके केन्द्रों के बीच की दूरी है। उभयनिष्ठ जीवा की लम्बाई ज्ञात कीजिए। 2. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं। 3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से बराबर कोण बनाती है। 4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र है, और पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए है (देखिए आकृति 9.12)। 5. एक पार्क में बने त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?
Answer: इति सिद्धम् ()
Step-by-step solution
Step 1: दिया है, सिद्ध करना है तथा रचना
हम दिया गया कथन लिखते हैं: केन्द्र वाले दो संकेन्द्री वृत्त हैं। एक छेदक रेखा दोनों वृत्तों को क्रमशः बिन्दुओं A, B, C तथा पर प्रतिच्छेद करती है, जहाँ बड़े वृत्त की जीवा है और छोटे वृत्त की जीवा है। हमें सिद्ध करना है कि है। रचना के लिए, केन्द्र से रेखा पर लम्ब खींचते हैं, अर्थात ।
Step 2: छोटे वृत्त के लिए प्रमेय का अनुप्रयोग
छोटे वृत्त के लिए, एक जीवा है और रचना से है। हम जानते हैं कि वृत्त के केन्द्र से किसी जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। इसलिए, जीवा का मध्य-बिन्दु है, जिससे हमें प्राप्त होता है। इसे समीकरण (1) मानते हैं।
Step 3: बड़े वृत्त के लिए प्रमेय का अनुप्रयोग
बड़े वृत्त के लिए, एक जीवा है और है। उसी प्रमेय के अनुसार, केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः, जीवा का भी मध्य-बिन्दु है, जिससे प्राप्त होता है। इसे समीकरण (2) मानते हैं।
Step 4: समीकरणों को घटाकर अभीष्ट परिणाम प्राप्त करना
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर: हमें प्राप्त होता है। आकृति से स्पष्ट है कि और है। अतः, सिद्ध होता है।