समाकलन करने पर, हमें ln|1+y| बाईं ओर और (x²)/(2) + C दाहिनी ओर प्राप्त होता है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

समाकलन करने पर, हमें ln|1+y| बाईं ओर और (x²)/(2) + C दाहिनी ओर प्राप्त होता है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

बिन्दु $(0, 1)$ से गुजरने वाले एक वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए, यदि इस वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता, उस बिंदु के $x$ निर्देशांक (भुज) तथा $x$ निर्देशांक और $y$ निर्देशांक (कोटि) के गुणनफल के योग के बराबर है।

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Step-by-Step Solution

Step 1: अवकल समीकरण स्थापित करें

समस्या के अनुसार, वक्र के किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता $x$ निर्देशांक ( $x$ ) और $x$ निर्देशांक तथा $y$ निर्देशांक के गुणनफल ( $xy$ ) के योग के बराबर है। इसे अवकल समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

Step 2: चरों को पृथक करें

अवकल समीकरण को हल करने के लिए, हम चरों को पृथक करते हैं। x(1+y) को दाहिनी ओर से $1+y$ को बाईं ओर और $dx$ को दाहिनी ओर ले जाते हैं।

Step 3: दोनों पक्षों का समाकलन करें

चरों को पृथक करने के बाद, हम समीकरण के दोनों पक्षों का समाकलन करते हैं।

Step 4: समाकलन करें

समाकलन करने पर, हमें $\ln|1+y|$ बाईं ओर और $\frac{x^2}{2} + C$ दाहिनी ओर प्राप्त होता है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

Step 5: स्थिरांक $C$ का मान ज्ञात करें

दिए गए बिंदु $(0, 1)$ का उपयोग करके, हम $x=0$ और $y=1$ को समाकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें $C = \ln 2$ प्राप्त होता है।

Step 6: वक्र का समीकरण ज्ञात करें

स्थिरांक $C$ का मान वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें वक्र का समीकरण प्राप्त होता है।

Step 7: समीकरण को सरल करें

समीकरण को $y$ के लिए हल करने के लिए, हम दोनों पक्षों को घातांक रूप में बदलते हैं और लघुगणक के गुणों का उपयोग करते हैं। इससे हमें वक्र का अंतिम समीकरण प्राप्त होता है।