दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम cos³ x को cos² x cos x के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें cos² x को sin x के पदों में बदलने की अनुमति देगा।

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम cos³ x को cos² x cos x के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें cos² x को sin x के पदों में बदलने की अनुमति देगा।

प्रतिस्थापन करने पर, समाकलन ∫ t³ (1 - t²) dt बन जाता है। यह एक बहुपद का समाकलन है जिसे हल करना आसान है।

प्रतिस्थापन करने पर, समाकलन ∫ t³ (1 - t²) dt बन जाता है। यह एक बहुपद का समाकलन है जिसे हल करना आसान है।

हम समाकलन को विस्तारित करते हैं और प्रत्येक पद का समाकलन करते हैं। t³ का समाकलन (t^4)/(4) है और t^5 का समाकलन (t^6)/(6) है। C समाकलन का स्थिरांक है।

हम समाकलन को विस्तारित करते हैं और प्रत्येक पद का समाकलन करते हैं। t³ का समाकलन (t^4)/(4) है और t^5 का समाकलन (t^6)/(6) है। C समाकलन का स्थिरांक है।

1 से 22 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 5. $\sin^3 x \cos^3 x$

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Step-by-Step Solution

Step 1: फलन को पुनर्व्यवस्थित करें

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम $\cos^3 x$ को $\cos^2 x \cos x$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह हमें $\cos^2 x$ को $\sin x$ के पदों में बदलने की अनुमति देगा।

Step 2: त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का प्रयोग करें

हम त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ का उपयोग करते हैं। यह हमें पूरे व्यंजक को $\sin x$ और $\cos x$ के पदों में व्यक्त करने में मदद करता है, जहाँ $\cos x$ अवकलन के लिए तैयार है।

Step 3: प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। हम $t = \sin x$ मानते हैं, जिसका अर्थ है कि $dt = \cos x \, dx$ । यह समाकलन को $t$ के पदों में सरल बनाता है।

Step 4: समाकलन को $t$ के पदों में लिखें

प्रतिस्थापन करने पर, समाकलन $\int t^3 (1 - t^2) \, dt$ बन जाता है। यह एक बहुपद का समाकलन है जिसे हल करना आसान है।

Step 5: समाकलन का विस्तार और हल करें

हम समाकलन को विस्तारित करते हैं और प्रत्येक पद का समाकलन करते हैं। $t^3$ का समाकलन $\frac{t^4}{4}$ है और $t^5$ का समाकलन $\frac{t^6}{6}$ है। $C$ समाकलन का स्थिरांक है।

Step 6: मूल चर में वापस प्रतिस्थापित करें

अंत में, हम $t = \sin x$ को वापस प्रतिस्थापित करते हैं ताकि हमें मूल चर $x$ के पदों में अंतिम उत्तर मिल सके।