पहले समाकलन के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। यदि हम t = 1+2x+3x² मानते हैं, तो dt = (2+6x)dx होता है। इसलिए, यह ∫ (1)/(t) dt के रूप में सरल हो जाता है, जिसका समाकलन log|t| होता है।

पहले समाकलन के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। यदि हम t = 1+2x+3x² मानते हैं, तो dt = (2+6x)dx होता है। इसलिए, यह ∫ (1)/(t) dt के रूप में सरल हो जाता है, जिसका समाकलन log|t| होता है।

दूसरे समाकलन के लिए, हम हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। यह हमें ∫ (1)/(a²+x²) dx = (1)/(a) tan^{-1}(x)/(a) के रूप में समाकलन करने में मदद करेगा।

दूसरे समाकलन के लिए, हम हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। यह हमें ∫ (1)/(a²+x²) dx = (1)/(a) tan^{-1}(x)/(a) के रूप में समाकलन करने में मदद करेगा।

अब हम पूर्ण वर्ग वाले हर का उपयोग करके दूसरे समाकलन को हल करते हैं। हम सूत्र ∫ (1)/(a²+x²) dx = (1)/(a) tan^{-1}(x)/(a) का उपयोग करते हैं, जहाँ a = {√(2)}{3} और x = x+(1)/(3) है।

अब हम पूर्ण वर्ग वाले हर का उपयोग करके दूसरे समाकलन को हल करते हैं। हम सूत्र ∫ (1)/(a²+x²) dx = (1)/(a) tan^{-1}(x)/(a) का उपयोग करते हैं, जहाँ a = {√(2)}{3} और x = x+(1)/(3) है।

प्रश्न 1 से 23 तक के फलनों का समाकलन कीजिए। 18. $\frac{5x-2}{1+2x+3x^2}$

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Step-by-Step Solution

Step 1: अंश को हर के अवकलज के रूप में व्यक्त करना

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम अंश $5x-2$ को हर $1+2x+3x^2$ के अवकलज के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करते हैं। यह हमें समाकलन को दो सरल भागों में तोड़ने में मदद करेगा।

Step 2: अवकलज ज्ञात करना और गुणांकों की तुलना करना

पहले, हम हर $1+2x+3x^2$ का अवकलज ज्ञात करते हैं, जो $2+6x$ है। फिर, हम $x$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करके $A$ और $B$ के मान ज्ञात करते हैं।

Step 3: $A$ और $B$ के मान ज्ञात करना

गुणांकों की तुलना करने पर, हमें $6A=5$ और $2A+B=-2$ प्राप्त होता है। इन समीकरणों को हल करने पर $A = \frac{5}{6}$ और $B = -\frac{11}{3}$ मिलता है।

Step 4: समाकलन को दो भागों में विभाजित करना

अब हम अंश को A(2+6x)+B के रूप में प्रतिस्थापित करते हैं और समाकलन को दो अलग-अलग समाकलनों में विभाजित करते हैं।

Step 5: पहले भाग का समाकलन करना

पहले समाकलन के लिए, हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। यदि हम $t = 1+2x+3x^2$ मानते हैं, तो $dt = (2+6x)dx$ होता है। इसलिए, यह $\int \frac{1}{t} dt$ के रूप में सरल हो जाता है, जिसका समाकलन $\log|t|$ होता है।

Step 6: दूसरे भाग का समाकलन करना (पूर्ण वर्ग विधि)

दूसरे समाकलन के लिए, हम हर को पूर्ण वर्ग बनाते हैं। यह हमें $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ के रूप में समाकलन करने में मदद करेगा।

Step 7: दूसरे भाग का समाकलन करना

अब हम पूर्ण वर्ग वाले हर का उपयोग करके दूसरे समाकलन को हल करते हैं। हम सूत्र $\int \frac{1}{a^2+x^2} dx = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$ का उपयोग करते हैं, जहाँ $a = \frac{\sqrt{2}}{3}$ और $x = x+\frac{1}{3}$ है।

Step 8: अंतिम समाकलन

दोनों भागों के समाकलन को संयोजित करने पर हमें अंतिम उत्तर प्राप्त होता है। $C$ समाकलन का अचर है।