दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें (1)/(x) = (dt)/(dx) मिलता है, जिससे (1)/(x) dx = dt प्राप्त होता है।

दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें (1)/(x) = (dt)/(dx) मिलता है, जिससे (1)/(x) dx = dt प्राप्त होता है।

1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 3. $\frac{1}{x+x \log x}$

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Step-by-Step Solution

Step 1: व्यंजक को सरल करें

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम पहले हर से $x$ को उभयनिष्ठ लेकर व्यंजक को सरल करते हैं। इससे समाकलन $\int \frac{1}{x(1+\log x)} dx$ बन जाता है।

Step 2: प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं। हम $1+\log x$ को $t$ मानते हैं।

Step 3: अवकलन करें

दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{1}{x} = \frac{dt}{dx}$ मिलता है, जिससे $\frac{1}{x} dx = dt$ प्राप्त होता है।

Step 4: प्रतिस्थापन के बाद समाकलन करें

अब हम $1+\log x = t$ और $\frac{1}{x} dx = dt$ को मूल समाकलन में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे समाकलन $\int \frac{1}{t} dt$ बन जाता है।

Step 5: समाकलन का मूल्यांकन करें

हम जानते हैं कि $\frac{1}{t}$ का समाकलन $\log |t|$ होता है। समाकलन के बाद हम समाकलन स्थिरांक $C$ जोड़ते हैं।

Step 6: मूल चर में वापस प्रतिस्थापित करें

अंत में, हम $t$ को उसके मूल मान $1+\log x$ से प्रतिस्थापित करते हैं। इस प्रकार, हमें $\log |1+\log x| + C$ प्राप्त होता है।