सिद्ध कीजिए कि सारणिक |[1, a, a2a^2], [1, b, b2b^2], [1, c, c2c^2]| = (a-b)(b-c)(c-a).

उत्तर: सारणिक ∣1aa21bb21cc2∣=(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a) सिद्ध हुआ।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: सारणिक को सरल करना

हमें दिए गए सारणिक को (a−b)(b−c)(c−a)(a-b)(b-c)(c-a) के बराबर सिद्ध करना है। हम सारणिक को सरल करके शुरुआत करेंगे।

चरण 2: पंक्ति संक्रियाएँ लागू करना

सारणिक को सरल बनाने के लिए, हम पंक्ति संक्रियाएँ लागू करेंगे। हम दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटाते हैं (R2→R2−R1R_2 \to R_2 - R_1) और तीसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटाते हैं (R3→R3−R1R_3 \to R_3 - R_1)।

चरण 3: संक्रियाओं के बाद सारणिक

पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने के बाद, सारणिक इस प्रकार बन जाता है। अब हम b2−a2=(b−a)(b+a)b^2-a^2 = (b-a)(b+a) और c2−a2=(c−a)(c+a)c^2-a^2 = (c-a)(c+a) का उपयोग करके इसे और सरल कर सकते हैं।

चरण 4: सामान्य गुणनखंड बाहर निकालना

हम दूसरी पंक्ति से (b−a)(b-a) और तीसरी पंक्ति से (c−a)(c-a) को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालते हैं।

चरण 5: सारणिक का विस्तार करना

अब हम पहले स्तंभ के साथ सारणिक का विस्तार करते हैं। यह हमें (b−a)(c−a)(c+a−b−a)(b-a)(c-a)(c+a-b-a) देता है, जिसे सरल करने पर (b−a)(c−a)(c−b)(b-a)(c-a)(c-b) प्राप्त होता है।

चरण 6: परिणाम को वांछित रूप में लिखना

हम जानते हैं कि (b−a)=−(a−b)(b-a) = -(a-b), (c−a)=−(a−c)(c-a) = -(a-c), और (c−b)=−(b−c)(c-b) = -(b-c) । इन प्रतिस्थापनों को करने पर, हमें (−(a−b))(−(a−c))(−(b−c))(-(a-b)) (-(a-c)) (-(b-c)) मिलता है, जो (a−b)(a−c)(b−c)(a-b)(a-c)(b-c) के बराबर है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर (a−b)(b−c)(c−a)(a-b)(b-c)(c-a) प्राप्त होता है।

अपना सवाल मुफ़्त में हल करें →