सिद्ध कीजिए कि सारणिक |[1, a, a^2], [1, b, b^2], [1, c, c^2]| = (a-b)(b-c)(c-a).
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Step-by-Step Solution
Step 1: सारणिक को सरल करना
हमें दिए गए सारणिक को $(a-b)(b-c)(c-a)$ के बराबर सिद्ध करना है। हम सारणिक को सरल करके शुरुआत करेंगे।
Step 2: पंक्ति संक्रियाएँ लागू करना
सारणिक को सरल बनाने के लिए, हम पंक्ति संक्रियाएँ लागू करेंगे। हम दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटाते हैं ($R_2 \to R_2 - R_1$) और तीसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटाते हैं ($R_3 \to R_3 - R_1$)।
Step 3: संक्रियाओं के बाद सारणिक
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने के बाद, सारणिक इस प्रकार बन जाता है। अब हम $b^2-a^2 = (b-a)(b+a)$ और $c^2-a^2 = (c-a)(c+a)$ का उपयोग करके इसे और सरल कर सकते हैं।
Step 4: सामान्य गुणनखंड बाहर निकालना
हम दूसरी पंक्ति से $(b-a)$ और तीसरी पंक्ति से $(c-a)$ को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालते हैं।
Step 5: सारणिक का विस्तार करना
अब हम पहले स्तंभ के साथ सारणिक का विस्तार करते हैं। यह हमें $(b-a)(c-a)(c+a-b-a)$ देता है, जिसे सरल करने पर $(b-a)(c-a)(c-b)$ प्राप्त होता है।
Step 6: परिणाम को वांछित रूप में लिखना
हम जानते हैं कि $(b-a) = -(a-b)$, $(c-a) = -(a-c)$, और $(c-b) = -(b-c)$। इन प्रतिस्थापनों को करने पर, हमें $(-(a-b)) (-(a-c)) (-(b-c))$ मिलता है, जो $(a-b)(a-c)(b-c)$ के बराबर है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $(a-b)(b-c)(c-a)$ प्राप्त होता है।