सिद्ध कीजिए कि सारणिक |[1, a, a2], [1, b, b2], [1, c, c2]| = (a-b)(b-c)(c-a).
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Step-by-Step Solution
Step 1: सारणिक को सरल करना
हमें दिए गए सारणिक को (a-b)(b-c)(c-a) के बराबर सिद्ध करना है। हम सारणिक को सरल करके शुरुआत करेंगे।
Step 2: पंक्ति संक्रियाएँ लागू करना
सारणिक को सरल बनाने के लिए, हम पंक्ति संक्रियाएँ लागू करेंगे। हम दूसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटाते हैं (R2→R2−R1) और तीसरी पंक्ति से पहली पंक्ति को घटाते हैं (R3→R3−R1)।
Step 3: संक्रियाओं के बाद सारणिक
पंक्ति संक्रियाएँ लागू करने के बाद, सारणिक इस प्रकार बन जाता है। अब हम b2−a2=(b−a)(b+a) और c2−a2=(c−a)(c+a) का उपयोग करके इसे और सरल कर सकते हैं।
Step 4: सामान्य गुणनखंड बाहर निकालना
हम दूसरी पंक्ति से (b-a) और तीसरी पंक्ति से (c-a) को सामान्य गुणनखंड के रूप में बाहर निकालते हैं।
Step 5: सारणिक का विस्तार करना
अब हम पहले स्तंभ के साथ सारणिक का विस्तार करते हैं। यह हमें (b-a)(c-a)(c+a-b-a) देता है, जिसे सरल करने पर (b-a)(c-a)(c-b) प्राप्त होता है।
Step 6: परिणाम को वांछित रूप में लिखना
हम जानते हैं कि (b−a)=−(a−b), (c−a)=−(a−c), और (c−b)=−(b−c) । इन प्रतिस्थापनों को करने पर, हमें (-(a-b)) (-(a-c)) (-(b-c)) मिलता है, जो (a-b)(a-c)(b-c) के बराबर है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर (a-b)(b-c)(c-a) प्राप्त होता है।