दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम हर से √(x) को उभयनिष्ठ (कॉमन) ले सकते हैं। इससे व्यंजक {1}{√(x)(√(x)-1)} में बदल जाता है, जो समाकलन के लिए अधिक उपयुक्त है।

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम हर से √(x) को उभयनिष्ठ (कॉमन) ले सकते हैं। इससे व्यंजक {1}{√(x)(√(x)-1)} में बदल जाता है, जो समाकलन के लिए अधिक उपयुक्त है।

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे। हम t = √(x)-1 मानते हैं। t के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें dt = {1}{2√(x)} dx प्राप्त होता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर 2 dt = {1}{√(x)} dx मिलता है।

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे। हम t = √(x)-1 मानते हैं। t के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें dt = {1}{2√(x)} dx प्राप्त होता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर 2 dt = {1}{√(x)} dx मिलता है।

अब हम मूल समाकलन में प्रतिस्थापन लागू करते हैं। √(x)-1 को t से और {1}{√(x)} dx को 2 dt से प्रतिस्थापित करने पर, समाकलन ∫ (1)/(t) (2 dt) बन जाता है।

अब हम मूल समाकलन में प्रतिस्थापन लागू करते हैं। √(x)-1 को t से और {1}{√(x)} dx को 2 dt से प्रतिस्थापित करने पर, समाकलन ∫ (1)/(t) (2 dt) बन जाता है।

स्थिरांक 2 को समाकलन चिह्न से बाहर निकालने पर, हमें 2 ∫ (1)/(t) dt मिलता है। (1)/(t) का समाकलन log|t| होता है। इसलिए, परिणाम 2 log|t| + C है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

स्थिरांक 2 को समाकलन चिह्न से बाहर निकालने पर, हमें 2 ∫ (1)/(t) dt मिलता है। (1)/(t) का समाकलन log|t| होता है। इसलिए, परिणाम 2 log|t| + C है, जहाँ C समाकलन स्थिरांक है।

अंत में, हम t के मान को मूल चर x में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि हमने t = √(x)-1 माना था, इसलिए अंतिम उत्तर 2 log|√(x)-1| + C है।

अंत में, हम t के मान को मूल चर x में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि हमने t = √(x)-1 माना था, इसलिए अंतिम उत्तर 2 log|√(x)-1| + C है।

1 से 37 तक के प्रश्नों में प्रत्येक फलन का समाकलन ज्ञात कीजिए। 10. $\frac{1}{x-\sqrt{x}}$

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Step-by-Step Solution

Step 1: व्यंजक को सरल करें

दिए गए समाकलन को हल करने के लिए, हम हर से $\sqrt{x}$ को उभयनिष्ठ (कॉमन) ले सकते हैं। इससे व्यंजक $\frac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}$ में बदल जाता है, जो समाकलन के लिए अधिक उपयुक्त है।

Step 2: प्रतिस्थापन विधि का प्रयोग करें

अब हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करेंगे। हम $t = \sqrt{x}-1$ मानते हैं। $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$ प्राप्त होता है। इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $2 dt = \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ मिलता है।

Step 3: प्रतिस्थापन लागू करें

अब हम मूल समाकलन में प्रतिस्थापन लागू करते हैं। $\sqrt{x}-1$ को $t$ से और $\frac{1}{\sqrt{x}} dx$ को $2 dt$ से प्रतिस्थापित करने पर, समाकलन $\int \frac{1}{t} (2 dt)$ बन जाता है।

Step 4: समाकलन करें

स्थिरांक $2$ को समाकलन चिह्न से बाहर निकालने पर, हमें $2 \int \frac{1}{t} dt$ मिलता है। $\frac{1}{t}$ का समाकलन $\log|t|$ होता है। इसलिए, परिणाम $2 \log|t| + C$ है, जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

Step 5: मूल चर में वापस प्रतिस्थापित करें

अंत में, हम $t$ के मान को मूल चर $x$ में वापस प्रतिस्थापित करते हैं। चूंकि हमने $t = \sqrt{x}-1$ माना था, इसलिए अंतिम उत्तर $2 \log|\sqrt{x}-1| + C$ है।