त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ θ केंद्र पर बनाया गया कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है। यहाँ θ = 120^° और r = 21 cm है, तथा π = (22)/(7) है।

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ θ केंद्र पर बनाया गया कोण है और r वृत्त की त्रिज्या है। यहाँ θ = 120^° और r = 21 cm है, तथा π = (22)/(7) है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, हम त्रिज्यखंड OAYB का क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं। 120^°/360^° = 1/3. इसके बाद हम 22/7 × 441 को गुणा करते हैं, जो 22 × 63 = 1386 होता है। फिर 1386/3 = 462 cm². इस प्रकार, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 462 cm² है।

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, हम त्रिज्यखंड OAYB का क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं। 120^°/360^° = 1/3. इसके बाद हम 22/7 × 441 को गुणा करते हैं, जो 22 × 63 = 1386 होता है। फिर 1386/3 = 462 cm². इस प्रकार, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल 462 cm² है।

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (1)/(2) r² sinθ का उपयोग करते हैं, जहाँ r भुजाओं OA और OB की लंबाई (त्रिज्या) है और θ उनके बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से, हम लंब OM खींचकर (1)/(2) × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (1)/(2) r² sinθ का उपयोग करते हैं, जहाँ r भुजाओं OA और OB की लंबाई (त्रिज्या) है और θ उनके बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से, हम लंब OM खींचकर (1)/(2) × आधार × ऊँचाई का उपयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

यहाँ r = 21 cm और θ = 120^° है। हम जानते हैं कि sin(120^°) = sin(180^° - 60^°) = sin(60^°) = (√3)/(2)। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने से त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल (441√3)/(4) cm² है।

यहाँ r = 21 cm और θ = 120^° है। हम जानते हैं कि sin(120^°) = sin(180^° - 60^°) = sin(60^°) = (√3)/(2)। इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने से त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल (441√3)/(4) cm² है।

वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड OAYB के क्षेत्रफल (462 cm²) में से त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल ((441√3)/(4) cm²) को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड OAYB के क्षेत्रफल (462 cm²) में से त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल ((441√3)/(4) cm²) को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

आकृति 11.6 में दर्शाए गए वृत्तखंड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, यदि वृत्त की त्रिज्या $21$ cm है और $\angle\,\mathrm{AOB} = 120^\circ$ है। [ $\pi = \frac{22}{7}$ लीजिए]

Answer: वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल $462 - \frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$ है।

Step-by-step solution

Step 1: वृत्तखंड के क्षेत्रफल का सूत्र

वृत्तखंड (segment) का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम त्रिज्यखंड (sector) के क्षेत्रफल में से संबंधित त्रिभुज के क्षेत्रफल को घटा देते हैं। यहाँ त्रिज्यखंड OAYB है और त्रिभुज OAB है।

Step 2: त्रिज्यखंड OAYB का क्षेत्रफल ज्ञात करना

त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम दिए गए सूत्र का उपयोग करते हैं जहाँ $\theta$ केंद्र पर बनाया गया कोण है और $r$ वृत्त की त्रिज्या है। यहाँ $\theta = 120^\circ$ और $r = 21$ cm है, तथा $\pi = \frac{22}{7}$ है।

Step 3: त्रिज्यखंड OAYB के क्षेत्रफल की गणना

दिए गए मानों को सूत्र में रखने पर, हम त्रिज्यखंड OAYB का क्षेत्रफल प्राप्त करते हैं। $120^\circ/360^\circ = 1/3$ . इसके बाद हम $22/7 \times 441$ को गुणा करते हैं, जो $22 \times 63 = 1386$ होता है। फिर $1386/3 = 462$ cm². इस प्रकार, त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल $462 \text{ cm}^2$ है।

Step 4: त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल ज्ञात करना

त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र $\frac{1}{2} r^2 \sin\theta$ का उपयोग करते हैं, जहाँ $r$ भुजाओं OA और OB की लंबाई (त्रिज्या) है और $\theta$ उनके बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से, हम लंब OM खींचकर $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$ का उपयोग करके भी क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं।

Step 5: त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल की गणना

यहाँ $r = 21$ cm और $\theta = 120^\circ$ है। हम जानते हैं कि $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ । इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने से त्रिभुज OAB का क्षेत्रफल $\frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$ है।

Step 6: वृत्तखंड (खंड AYB) का क्षेत्रफल

वृत्तखंड AYB का क्षेत्रफल त्रिज्यखंड OAYB के क्षेत्रफल ( $462 \text{ cm}^2$ ) में से त्रिभुज OAB के क्षेत्रफल ( $\frac{441\sqrt{3}}{4} \text{ cm}^2$ ) को घटाकर प्राप्त किया जाता है।

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