प्रश्न 13 में स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा से P(A B) = P(A)P(B) होता है (विकल्प A)। प्रश्न 14 में 52 पत्तों में 4 बादशाह होते हैं, अतः प्रायिकता (4)/(52) = (1)/(13) है (विकल्प A)। प्रश्न 15 में सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र P(B/A) = (P(A B))/(P(A)) = (1/5)/(1/3) = (3)/(5) है (विकल्प B)।

प्रश्न 13 में स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा से P(A B) = P(A)P(B) होता है (विकल्प A)। प्रश्न 14 में 52 पत्तों में 4 बादशाह होते हैं, अतः प्रायिकता (4)/(52) = (1)/(13) है (विकल्प A)। प्रश्न 15 में सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र P(B/A) = (P(A B))/(P(A)) = (1/5)/(1/3) = (3)/(5) है (विकल्प B)।

प्रश्न 16 में बर्नौली परीक्षणों के अनुसार n = 10, p = (1)/(2), q = (1)/(2) है। ठीक 6 चित आने की प्रायिकता ^(10)C_6 ((1)/(2))^6 ((1)/(2))^4 = ^(10)C_6 ((1)/(2))^(10) है (विकल्प D)। प्रश्न 17 में योग नियम P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = (6)/(11) + (5)/(11) - (7)/(11) = (4)/(11) है (विकल्प A)।

प्रश्न 16 में बर्नौली परीक्षणों के अनुसार n = 10, p = (1)/(2), q = (1)/(2) है। ठीक 6 चित आने की प्रायिकता ^(10)C_6 ((1)/(2))^6 ((1)/(2))^4 = ^(10)C_6 ((1)/(2))^(10) है (विकल्प D)। प्रश्न 17 में योग नियम P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) = (6)/(11) + (5)/(11) - (7)/(11) = (4)/(11) है (विकल्प A)।

प्रश्न 18 में xy -तल पर प्रत्येक बिंदु का z -निर्देशांक शून्य होता है, अतः समीकरण z = 0 है (विकल्प C)। प्रश्न 19 में z -अक्ष x, y, z अक्षों के साथ क्रमशः 90^°, 90^°, 0^° कोण बनाता है, अतः दिक्-कोज्याएँ (0, 0, 1) हैं (विकल्प B)। प्रश्न 20 में दूरी सूत्र से d = √((-3)² + (-4)² + (-12)²) = √169 = 13 मात्रक है (विकल्प A)।

प्रश्न 18 में xy -तल पर प्रत्येक बिंदु का z -निर्देशांक शून्य होता है, अतः समीकरण z = 0 है (विकल्प C)। प्रश्न 19 में z -अक्ष x, y, z अक्षों के साथ क्रमशः 90^°, 90^°, 0^° कोण बनाता है, अतः दिक्-कोज्याएँ (0, 0, 1) हैं (विकल्प B)। प्रश्न 20 में दूरी सूत्र से d = √((-3)² + (-4)² + (-12)²) = √169 = 13 मात्रक है (विकल्प A)।

13. यदि घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हों तो (A) $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ (B) $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ (C) $P(A \cup B) = 0$ (D) $P(A \cap B) = P(A) + P(B)$ 14. 52 पत्तों की ताश की एक गड्डी से एक बादशाह निकालने की प्रायिकता है (A) $\frac{1}{13}$ (B) $\frac{4}{13}$ (C) $\frac{1}{52}$ (D) $\frac{1}{4}$ 15. $P(A) = \frac{1}{3}$ , $P(B) = \frac{1}{4}$ , $P(A \cap B) = \frac{1}{5} \Rightarrow P(B/A) =$ (A) $\frac{2}{5}$ (B) $\frac{3}{5}$ (C) $\frac{1}{5}$ (D) $\frac{4}{5}$ 16. एक सिक्के को 10 बार उछाला जाता है। ठीक छः चित आने की प्रायिकता है (A) ${}^{10}C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^6$ (B) ${}^{10}C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^7$ (C) ${}^{10}C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^8$ (D) ${}^{10}C_6 \left(\frac{1}{2}\right)^{10}$ 17. $P(A) = \frac{6}{11}$ , $P(B) = \frac{5}{11}$ , $P(A \cup B) = \frac{7}{11} \Rightarrow P(A \cap B) =$ (A) $\frac{4}{11}$ (B) $\frac{5}{11}$ (C) $\frac{7}{11}$ (D) $\frac{9}{11}$ 18. $xy$ -तल का समीकरण है (A) $x = 0$ (B) $y = 0$ (C) $z = 0$ (D) इनमें से कोई नहीं 19. $z$ -अक्ष की दिक्-कोज्याएँ हैं (A) $(1, 0, 1)$ (B) $(0, 0, 1)$ (C) $(0, 1, 0)$ (D) $(0, 0, 0)$ 20. बिन्दुओं $(4, 3, 7)$ और $(1, -1, -5)$ के बीच की दूरी है (A) $13$ (B) $15$ (C) $12$ (D) $5$ 21. $\frac{d}{dx}\log(\sec x + \tan x) =$ (A) $\frac{1}{\sec x + \tan x}$ (B) $\sec x$ (C) $\tan x$ (D) $\sec x \tan x$ 22. $\frac{d}{dx}(\sec^{-1} x + \text{cosec}^{-1} x) =$ (A) $1$ (B) $0$ (C) $2$ (D) $-1$

उत्तर: 13. (A) P(A ∩ B) = P(A)P(B) 14. (A) 1/13 15. (B) 3/5 16. (D) ¹⁰C₆ (1/2)¹⁰ 17. (A) 4/11 18. (C) $z = 0$ 19. (B) (0, 0, 1) 20. (A) 13 21. (B) sec x 22. (B) 0

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: प्रश्न 13, 14 और 15 (प्रायिकता के मूलभूत नियम)

प्रश्न 13 में स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा से $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ होता है (विकल्प A)। प्रश्न 14 में 52 पत्तों में 4 बादशाह होते हैं, अतः प्रायिकता $\frac{4}{52} = \frac{1}{13}$ है (विकल्प A)। प्रश्न 15 में सप्रतिबंध प्रायिकता सूत्र $P(B/A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{1/5}{1/3} = \frac{3}{5}$ है (विकल्प B)।

चरण 2: प्रश्न 16 और 17 (द्विपद बंटन तथा प्रायिकता योग नियम)

प्रश्न 16 में बर्नौली परीक्षणों के अनुसार $n = 10$ , $p = \frac{1}{2}$ , $q = \frac{1}{2}$ है। ठीक 6 चित आने की प्रायिकता ${}^{10}C_6 (\frac{1}{2})^6 (\frac{1}{2})^4 = {}^{10}C_6 (\frac{1}{2})^{10}$ है (विकल्प D)। प्रश्न 17 में योग नियम $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B) = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$ है (विकल्प A)।

चरण 3: प्रश्न 18, 19 और 20 (त्रिविमीय ज्यामिति)

प्रश्न 18 में $xy$ -तल पर प्रत्येक बिंदु का $z$ -निर्देशांक शून्य होता है, अतः समीकरण $z = 0$ है (विकल्प C)। प्रश्न 19 में $z$ -अक्ष $x$ , $y$ , $z$ अक्षों के साथ क्रमशः $90^\circ$ , $90^\circ$ , $0^\circ$ कोण बनाता है, अतः दिक्-कोज्याएँ $(0, 0, 1)$ हैं (विकल्प B)। प्रश्न 20 में दूरी सूत्र से $d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2 + (-12)^2} = \sqrt{169} = 13$ मात्रक है (विकल्प A)।

चरण 4: प्रश्न 21 और 22 (अवकलन)

प्रश्न 21 में शृंखला नियम से $\frac{1}{\sec x + \tan x} \cdot (\sec x \tan x + \sec^2 x) = \frac{\sec x(\tan x + \sec x)}{\sec x + \tan x} = \sec x$ आता है (विकल्प B)। प्रश्न 22 में त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sec^{-1} x + \text{cosec}^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ एक अचर है, और अचर का अवकलज शून्य होता है (विकल्प B)।

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