यदि हम वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई को दोगुना कर देते हैं, तो नया क्षेत्रफल दोगुना नहीं बल्कि 2 × 2 = 4 गुना हो जाता है। इसका अर्थ है कि केवल भुजा को दोगुना करने से हमें दोगुने क्षेत्रफल वाला वर्ग प्राप्त नहीं होता।

यदि हम वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई को दोगुना कर देते हैं, तो नया क्षेत्रफल दोगुना नहीं बल्कि 2 × 2 = 4 गुना हो जाता है। इसका अर्थ है कि केवल भुजा को दोगुना करने से हमें दोगुने क्षेत्रफल वाला वर्ग प्राप्त नहीं होता।

भुजा s वाले वर्ग का विकर्ण d = s√2 होता है। जब हम विकर्ण d को नई भुजा मानकर वर्ग बनाते हैं, तो उसका क्षेत्रफल d² = 2s² प्राप्त होता है, जो मूल वर्ग के क्षेत्रफल s² का ठीक 2 गुना है।

भुजा s वाले वर्ग का विकर्ण d = s√2 होता है। जब हम विकर्ण d को नई भुजा मानकर वर्ग बनाते हैं, तो उसका क्षेत्रफल d² = 2s² प्राप्त होता है, जो मूल वर्ग के क्षेत्रफल s² का ठीक 2 गुना है।

### 2.1 Doubling a Square In Baudhāyana's Śulba-Sūtra (c. 800 BCE), Baudhāyana considers the following question: Question: How can one construct a square having double the area of a given square? A first guess might be to simply double the length of each side of the square. Will this new square have double the area of the original square? It's not hard to see that the new square will have area $2 \times 2 = 4$ times the area of the original square: Diagrams: - A smaller square of side length $s$ with tick marks on its bottom and right edges indicating single unit lengths. - A larger square with side length doubled ( $2s$ ), divided into four equal smaller squares of side length $s$ by dashed horizontal and vertical mid-lines. Tick marks show each half-side has length equal to the side of the original square. A diagonal line is drawn in the top-left sub-square from the top-left vertex to the center of the large square. So how can one make a square that has double the area? Baudhāyana in his Śulba-Sūtra (Verse 1.9) gave an elegant answer to this question: > The diagonal of a square produces a square of double the area of the original square. As Baudhāyana says, the key is to construct a square on the diagonal of the original square:

उत्तर: दिए गए वर्ग के विकर्ण को भुजा मानकर एक नया वर्ग बनाकर, मूल वर्ग के क्षेत्रफल का ठीक दोगुना क्षेत्रफल वाला वर्ग प्राप्त किया जाता है।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: भुजा को दोगुना करने का प्रभाव समझना

यदि हम वर्ग की प्रत्येक भुजा की लंबाई को दोगुना कर देते हैं, तो नया क्षेत्रफल दोगुना नहीं बल्कि $2 \times 2 = 4$ गुना हो जाता है। इसका अर्थ है कि केवल भुजा को दोगुना करने से हमें दोगुने क्षेत्रफल वाला वर्ग प्राप्त नहीं होता।

चरण 2: बौधायन सुलभ-सूत्र (श्लोक 1.9) का नियम

बौधायन ने शुल्ब-सूत्र के श्लोक 1.9 में बताया कि किसी वर्ग के विकर्ण पर निर्मित वर्ग का क्षेत्रफल, मूल वर्ग के क्षेत्रफल का ठीक दोगुना होता है।

चरण 3: गणितीय सत्यापन (पाइथागोरस/बौधायन प्रमेय द्वारा)

भुजा $s$ वाले वर्ग का विकर्ण $d = s\sqrt{2}$ होता है। जब हम विकर्ण $d$ को नई भुजा मानकर वर्ग बनाते हैं, तो उसका क्षेत्रफल $d^2 = 2s^2$ प्राप्त होता है, जो मूल वर्ग के क्षेत्रफल $s^2$ का ठीक $2$ गुना है।

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