हमें ऐसी अभाज्य संख्याएँ p ज्ञात करनी हैं जिनके लिए 2p + 1 भी एक अभाज्य संख्या हो। प्रश्न में एक उदाहरण दिया गया है: यदि p = 3 , तो 2 × 3 + 1 = 7 , और 7 भी एक अभाज्य संख्या है। हमें ऐसे कम से कम पाँच और उदाहरण खोजने हैं।

हमें ऐसी अभाज्य संख्याएँ p ज्ञात करनी हैं जिनके लिए 2p + 1 भी एक अभाज्य संख्या हो। प्रश्न में एक उदाहरण दिया गया है: यदि p = 3 , तो 2 × 3 + 1 = 7 , और 7 भी एक अभाज्य संख्या है। हमें ऐसे कम से कम पाँच और उदाहरण खोजने हैं।

ध्यान दीजिए कि 3 एक अभाज्य संख्या है और $2 \times 3 + 1 = 7$ भी एक अभाज्य संख्या है। क्या और भी ऐसी अभाज्य संख्याएँ हैं, जिन्हें 2 से गुणन करके एक जोड़ने पर अन्य अभाज्य संख्या प्राप्त होती है? ऐसे कम से कम पाँच उदाहरण ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: समस्या को समझना

हमें ऐसी अभाज्य संख्याएँ $p$ ज्ञात करनी हैं जिनके लिए $2p + 1$ भी एक अभाज्य संख्या हो। प्रश्न में एक उदाहरण दिया गया है: यदि $p = 3$ , तो $2 \times 3 + 1 = 7$ , और 7 भी एक अभाज्य संख्या है। हमें ऐसे कम से कम पाँच और उदाहरण खोजने हैं।

Step 2: अभाज्य संख्याओं का परीक्षण

हम सबसे छोटी अभाज्य संख्या से शुरू करके एक-एक करके अभाज्य संख्याओं का परीक्षण करेंगे। 1. यदि $p = 2$ , तो $2p + 1 = 2(2) + 1 = 5$ । 5 एक अभाज्य संख्या है। 2. यदि $p = 5$ , तो $2p + 1 = 2(5) + 1 = 11$ । 11 एक अभाज्य संख्या है। 3. यदि $p = 11$ , तो $2p + 1 = 2(11) + 1 = 23$ । 23 एक अभाज्य संख्या है। 4. यदि $p = 17$ , तो $2p + 1 = 2(17) + 1 = 35$ । 35 एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि $35 = 5 \times 7$ । 5. यदि $p = 29$ , तो $2p + 1 = 2(29) + 1 = 59$ । 59 एक अभाज्य संख्या है। 6. यदि $p = 41$ , तो $2p + 1 = 2(41) + 1 = 83$ । 83 एक अभाज्य संख्या है।

Step 3: उदाहरणों का संकलन

हमने ऐसी पाँच अभाज्य संख्याएँ $p$ ज्ञात की हैं जिनके लिए $2p + 1$ भी एक अभाज्य संख्या है। ये संख्याएँ हैं: $p = 2, 5, 11, 29, 41$ ।