3. यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि प्रतिच्छेद बिन्दु को केन्द्र से मिलाने वाली रेखा जीवाओं से... 4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र $\text{O}$ है, $\text{A, B, C}$ और $\text{D}$ पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए $\text{AB} = \text{CD}$ है (देखिए आकृति 9.12)। 5. एक पार्क में बने $5\text{ m}$ त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी $6\text{ m}$ हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

Answer: $\text{AB} = \text{CD}$ (इति सिद्धम्)

Step-by-step solution

Step 1: दिया है, सिद्ध करना है एवं रचना

हमें समान केन्द्र $O$ वाले दो संकेन्द्री वृत्त दिए गए हैं। एक रेखा दोनों वृत्तों को क्रमशः A, B, C और $D$ बिन्दुओं पर काटती है। सिद्ध करने के लिए कि $AB = CD$ , हम केन्द्र $O$ से रेखा रेखाखंड $AD$ पर एक लम्ब $OM$ खींचते हैं, अर्थात् $OM \perp AD$ ।

Step 2: आंतरिक वृत्त के लिए प्रमेय का अनुप्रयोग

अन्दर वाले छोटे वृत्त में, $BC$ एक जीवा है और $OM \perp BC$ है। हम जानते हैं कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को दो बराबर भागों में समद्विभाजित करता है। इसलिए, $BM = MC$ होगा। इसे समीकरण (1) मान लेते हैं।

Step 3: बाह्य वृत्त के लिए प्रमेय का अनुप्रयोग

अब बाहर वाले बड़े वृत्त में, $AD$ एक जीवा है और $OM \perp AD$ है। पुनः वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। अतः $AM = MD$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण (2) मान लेते हैं।

Step 4: समीकरण (2) में से (1) घटाना और परिणाम

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर: बाएं पक्ष में $AM - BM = AB$ प्राप्त होता है और दाएं पक्ष में $MD - MC = CD$ प्राप्त होता है। इस प्रकार, $AB = CD$ सिद्ध होता है।

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