समीकरण को मानक रूप में बदलने के बाद, हमें (x²)/(4) + (y²)/(36) = 1 प्राप्त होता है। यहाँ, y² के नीचे का हर x² के नीचे के हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है। इसलिए, a² = 36 और b² = 4 । इन मानों से, हम a = 6 और b = 2 प्राप्त करते हैं।

समीकरण को मानक रूप में बदलने के बाद, हमें (x²)/(4) + (y²)/(36) = 1 प्राप्त होता है। यहाँ, y² के नीचे का हर x² के नीचे के हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है। इसलिए, a² = 36 और b² = 4 । इन मानों से, हम a = 6 और b = 2 प्राप्त करते हैं।

नाभियों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम c² = a² - b² सूत्र का उपयोग करते हैं। a² = 36 और b² = 4 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें c² = 32 मिलता है, जिससे c = 4√(2) प्राप्त होता है। चूंकि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है, नाभियाँ (0, ± c) होंगी, यानी (0, ± 4√(2)) । उत्केंद्रता e = (c)/(a) है, जो {4√(2)}{6} = {2√(2)}{3} है।

नाभियों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम c² = a² - b² सूत्र का उपयोग करते हैं। a² = 36 और b² = 4 को प्रतिस्थापित करने पर, हमें c² = 32 मिलता है, जिससे c = 4√(2) प्राप्त होता है। चूंकि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है, नाभियाँ (0, ± c) होंगी, यानी (0, ± 4√(2)) । उत्केंद्रता e = (c)/(a) है, जो {4√(2)}{6} = {2√(2)}{3} है।

चूंकि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है, शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) होंगे, यानी (0, ± 6) । दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a है, जो 2(6) = 12 है। लघु अक्ष की लंबाई 2b है, जो 2(2) = 4 है।

चूंकि दीर्घ अक्ष y -अक्ष पर है, शीर्षों के निर्देशांक (0, ± a) होंगे, यानी (0, ± 6) । दीर्घ अक्ष की लंबाई 2a है, जो 2(6) = 12 है। लघु अक्ष की लंबाई 2b है, जो 2(2) = 4 है।

नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (2b²)/(a) का उपयोग करते हैं। b = 2 और a = 6 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (2(2²))/(6) = (2(4))/(6) = (8)/(6) = (4)/(3) प्राप्त होता है।

नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र (2b²)/(a) का उपयोग करते हैं। b = 2 और a = 6 के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें (2(2²))/(6) = (2(4))/(6) = (8)/(6) = (4)/(3) प्राप्त होता है।

दीर्घवृत्त $36x^2 + 4y^2 = 144$ में नाभियों और शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ, उत्केंद्रता तथा नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: दीर्घवृत्त के समीकरण को मानक रूप में परिवर्तित करें

दिए गए दीर्घवृत्त के समीकरण $36x^2 + 4y^2 = 144$ को मानक रूप में बदलने के लिए, हम समीकरण के दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करते हैं। इससे हमें दीर्घवृत्त का मानक समीकरण प्राप्त होता है, जिससे हम $a^2$ और $b^2$ के मानों की पहचान कर सकते हैं।

Step 2: मानक समीकरण से $a$ और $b$ के मान ज्ञात करें

समीकरण को मानक रूप में बदलने के बाद, हमें $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{36} = 1$ प्राप्त होता है। यहाँ, $y^2$ के नीचे का हर $x^2$ के नीचे के हर से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि दीर्घ अक्ष $y$ -अक्ष पर है। इसलिए, $a^2 = 36$ और $b^2 = 4$ । इन मानों से, हम $a = 6$ और $b = 2$ प्राप्त करते हैं।

Step 3: नाभियों के निर्देशांक और उत्केंद्रता ज्ञात करें

नाभियों के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम $c^2 = a^2 - b^2$ सूत्र का उपयोग करते हैं। $a^2 = 36$ और $b^2 = 4$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $c^2 = 32$ मिलता है, जिससे $c = 4\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि दीर्घ अक्ष $y$ -अक्ष पर है, नाभियाँ $(0, \pm c)$ होंगी, यानी $(0, \pm 4\sqrt{2})$ । उत्केंद्रता $e = \frac{c}{a}$ है, जो $\frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$ है।

Step 4: शीर्षों के निर्देशांक, दीर्घ और लघु अक्ष की लंबाइयाँ ज्ञात करें

चूंकि दीर्घ अक्ष $y$ -अक्ष पर है, शीर्षों के निर्देशांक $(0, \pm a)$ होंगे, यानी $(0, \pm 6)$ । दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a$ है, जो $2(6) = 12$ है। लघु अक्ष की लंबाई $2b$ है, जो $2(2) = 4$ है।

Step 5: नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करें

नाभिलंब जीवा की लंबाई ज्ञात करने के लिए, हम सूत्र $\frac{2b^2}{a}$ का उपयोग करते हैं। $b = 2$ और $a = 6$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $\frac{2(2^2)}{6} = \frac{2(4)}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ प्राप्त होता है।