4. यदि एक रेखा दो संकेन्द्री वृत्तों (एक ही केन्द्र वाले वृत्त) को, जिनका केन्द्र $\text{O}$ है, $\text{A, B, C}$ और $\text{D}$ पर प्रतिच्छेद करे, तो सिद्ध कीजिए $\text{AB} = \text{CD}$ है (देखिए आकृति 9.12)। 5. एक पार्क में बने $5\text{ m}$ त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी $6\text{ m}$ हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

Answer: इति सिद्धम् ( $AB = CD$ )

Step-by-step solution

Step 1: रचना: केन्द्र से जीवा पर लम्ब खींचना

मान लीजिए दो संकेन्द्री वृत्त हैं जिनका उभयनिष्ठ केन्द्र $O$ है। एक रेखा इन वृत्तों को क्रमशः बिन्दुओं A, B, C तथा $D$ पर प्रतिच्छेद करती है। केन्द्र $O$ से रेखा $AD$ पर लम्ब $OM$ खींचते हैं, अर्थात $OM \perp AD$ ।

Step 2: आन्तरिक वृत्त की जीवा BC के लिए प्रमेय लागू करना

रेखाखण्ड $BC$ छोटे (आन्तरिक) वृत्त की एक जीवा है। हम जानते हैं कि वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है। चूँकि $OM \perp BC$ , इसलिए $BM = MC$ होगा। इसे समीकरण (1) मानते हैं।

Step 3: बाह्य वृत्त की जीवा AD के लिए प्रमेय लागू करना

रेखाखण्ड $AD$ बड़े (बाह्य) वृत्त की जीवा है। पुनः उसी प्रमेय के अनुसार, वृत्त के केन्द्र $O$ से जीवा $AD$ पर डाला गया लम्ब $OM$ इसे समद्विभाजित करता है। अतः हमें $AM = MD$ प्राप्त होता है। इसे समीकरण (2) मानते हैं।

Step 4: समीकरणों को घटाकर अभीष्ट परिणाम प्राप्त करना

समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर: $AM - BM = MD - MC$ । आकृति से स्पष्ट है कि $AM - BM = AB$ तथा $MD - MC = CD$ है। अतः $AB = CD$ सिद्ध होता है।

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