एक थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं और एक अन्य थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं। दोनों थैलों में से एक को यादृच्छया चुना जाता है और उसमें एक गेंद निकाली जाती है जो कि लाल है। इस बात की क्या प्रायिकता है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है?

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Step-by-Step Solution

Step 1: घटनाओं को परिभाषित करें

सबसे पहले, हम उन घटनाओं को परिभाषित करते हैं जो समस्या में शामिल हैं। $E_1$ पहले थैले के चयन की घटना है, $E_2$ दूसरे थैले के चयन की घटना है, और $A$ लाल गेंद निकालने की घटना है।

Step 2: प्रायिकताओं की गणना करें

चूंकि दो थैले हैं और उनमें से एक को यादृच्छया चुना जाता है, इसलिए प्रत्येक थैले को चुनने की प्रायिकता $P(E_1)$ और $P(E_2)$ दोनों $\frac{1}{2}$ हैं। पहले थैले में 4 लाल और 4 काली गेंदें हैं, इसलिए पहले थैले से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_1) = \frac{4}{4+4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ है। दूसरे थैले में 2 लाल और 6 काली गेंदें हैं, इसलिए दूसरे थैले से लाल गेंद निकालने की प्रायिकता $P(A|E_2) = \frac{2}{2+6} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ है।

Step 3: बेयस प्रमेय लागू करें

हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि गेंद पहले थैले से निकाली गई है, यह देखते हुए कि निकाली गई गेंद लाल है। इसके लिए हम बेयस प्रमेय का उपयोग करेंगे।

Step 4: मानों को प्रतिस्थापित करें और गणना करें

अब हम बेयस प्रमेय में पहले से गणना किए गए मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और परिणामी प्रायिकता की गणना करते हैं।