उदाहरण 4 एक त्रिभुज की दो भुजाओं की माप $6 \text{ cm}$ तथा $8 \text{ cm}$ हैं। इसकी तीसरी भुजा की माप किन दो संख्याओं के बीच होगी ?

चरण 1: त्रिभुज असमानता प्रमेय को समझना

त्रिभुज असमानता प्रमेय (Triangle Inequality Theorem) के अनुसार, एक त्रिभुज की किन्हीं भी दो भुजाओं की लंबाइयों का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक होना चाहिए। यह प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि त्रिभुज का निर्माण संभव है।

चरण 2: दी गई भुजाओं को पहचानना

हमें त्रिभुज की दो भुजाएँ दी गई हैं: $$6 \text{ cm}$$ और $$8 \text{ cm}$$ । हम तीसरी भुजा को $$x$$ मान लेते हैं।

चरण 3: असमानताएँ स्थापित करना

त्रिभुज असमानता प्रमेय का उपयोग करके, हम तीसरी भुजा $$x$$ के लिए तीन असमानताएँ स्थापित कर सकते हैं।

चरण 4: असमानताओं को हल करना

अब हम इन असमानताओं को $$x$$ के लिए हल करते हैं। पहली असमानता से हमें $$x < 14$$ मिलता है। दूसरी असमानता से हमें $$x > 2$$ मिलता है। तीसरी असमानता से हमें $$x > -2$$ मिलता है, जो हमेशा सत्य है क्योंकि भुजा की लंबाई ऋणात्मक नहीं हो सकती।

चरण 5: परिणामों को संयोजित करना

सभी असमानताओं को संयोजित करने पर, हमें पता चलता है कि तीसरी भुजा की लंबाई $$2 \text{ cm}$$ से अधिक और $$14 \text{ cm}$$ से कम होनी चाहिए।

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