त्रिभुज Delta ORS का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार RS = 6 m और संगत शीर्षलंब OL = 4 m का प्रयोग करते हैं। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल (1)/(2) × 6 × 4 = 12 m² प्राप्त होता है।

त्रिभुज Delta ORS का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार RS = 6 m और संगत शीर्षलंब OL = 4 m का प्रयोग करते हैं। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल (1)/(2) × 6 × 4 = 12 m² प्राप्त होता है।

चूँकि Delta ORS और Delta OMS सर्वांगसम हैं (OR = OM = 5, RS = MS = 6, OS उभयनिष्ठ), रेखा OS, जीवा RM का लंब समद्विभाजक होगी। मान लीजिए OS और RM का प्रतिच्छेद बिंदु K है, जहाँ RK OS है। पुनः त्रिभुज Delta ORS का क्षेत्रफल आधार OS = 5 m तथा शीर्षलंब RK लेकर लिखने पर: (1)/(2) × 5 × RK = 12, जिससे RK = 4.8 m मिलता है।

चूँकि Delta ORS और Delta OMS सर्वांगसम हैं (OR = OM = 5, RS = MS = 6, OS उभयनिष्ठ), रेखा OS, जीवा RM का लंब समद्विभाजक होगी। मान लीजिए OS और RM का प्रतिच्छेद बिंदु K है, जहाँ RK OS है। पुनः त्रिभुज Delta ORS का क्षेत्रफल आधार OS = 5 m तथा शीर्षलंब RK लेकर लिखने पर: (1)/(2) × 5 × RK = 12, जिससे RK = 4.8 m मिलता है।

चूँकि रेखा OS जीवा RM को समद्विभाजित करती है, इसलिए संपूर्ण दूरी RM = 2 × RK होगी। मान प्रतिस्थापित करने पर RM = 2 × 4.8 = 9.6 m प्राप्त होता है। अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 m है।

चूँकि रेखा OS जीवा RM को समद्विभाजित करती है, इसलिए संपूर्ण दूरी RM = 2 × RK होगी। मान प्रतिस्थापित करने पर RM = 2 × 4.8 = 9.6 m प्राप्त होता है। अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी 9.6 m है।

5. एक पार्क में बने $5\text{ m}$ त्रिज्या वाले वृत्त पर खड़ी तीन लड़कियाँ रेशमा, सलमा एवं मनदीप खेल रही हैं। रेशमा एक गेंद को सलमा के पास, सलमा मनदीप के पास तथा मनदीप रेशमा के पास फेंकती है। यदि रेशमा तथा सलमा के बीच और सलमा तथा मनदीप के बीच की प्रत्येक दूरी $6\text{ m}$ हो, तो रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी क्या है?

Answer: रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी $9.6\text{ m}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: आकृति की रचना एवं लंब खींचना

मान लीजिए कि वृत्त का केंद्र $O$ है तथा रेशमा, सलमा और मनदीप की स्थितियाँ क्रमशः बिंदुओं $R$ , $S$ और $M$ द्वारा निरूपित हैं। दिया गया है कि वृत्त की त्रिज्या $5\text{ m}$ है, अतः $OR = OS = OM = 5\text{ m}$ तथा $RS = SM = 6\text{ m}$ है। केंद्र $O$ से जीवा $RS$ पर लंब $OL$ खींचते हैं।

Step 2: पाइथागोरस प्रमेय द्वारा OL की गणना

केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए $RL = \frac{6}{2} = 3\text{ m}$ होगा। अब समकोण त्रिभुज $\Delta OLR$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करने पर, $OL^2 = OR^2 - RL^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ प्राप्त होता है, जिससे $OL = 4\text{ m}$ मिलता है।

Step 3: त्रिभुज ORS का क्षेत्रफल ज्ञात करना

त्रिभुज $\Delta ORS$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आधार $RS = 6\text{ m}$ और संगत शीर्षलंब $OL = 4\text{ m}$ का प्रयोग करते हैं। अतः त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times 6 \times 4 = 12\text{ m}^2$ प्राप्त होता है।

Step 4: आधार OS लेकर RK का मान ज्ञात करना

चूँकि $\Delta ORS$ और $\Delta OMS$ सर्वांगसम हैं ( $OR = OM = 5$ , $RS = MS = 6$ , $OS$ उभयनिष्ठ), रेखा $OS$ , जीवा $RM$ का लंब समद्विभाजक होगी। मान लीजिए $OS$ और $RM$ का प्रतिच्छेद बिंदु $K$ है, जहाँ $RK \perp OS$ है। पुनः त्रिभुज $\Delta ORS$ का क्षेत्रफल आधार $OS = 5\text{ m}$ तथा शीर्षलंब $RK$ लेकर लिखने पर: $\frac{1}{2} \times 5 \times RK = 12$ , जिससे $RK = 4.8\text{ m}$ मिलता है।

Step 5: रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी RM ज्ञात करना

चूँकि रेखा $OS$ जीवा $RM$ को समद्विभाजित करती है, इसलिए संपूर्ण दूरी $RM = 2 \times RK$ होगी। मान प्रतिस्थापित करने पर $RM = 2 \times 4.8 = 9.6\text{ m}$ प्राप्त होता है। अतः रेशमा और मनदीप के बीच की दूरी $9.6\text{ m}$ है।

Solve your own maths question free →