हमें समस्या में दिया गया है कि PST = PRQ। पिछले चरण से, हमने यह भी प्राप्त किया है कि PST = PQR। इन दोनों कथनों की तुलना करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि PQR और PRQ बराबर हैं।

हमें समस्या में दिया गया है कि PST = PRQ। पिछले चरण से, हमने यह भी प्राप्त किया है कि PST = PQR। इन दोनों कथनों की तुलना करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि PQR और PRQ बराबर हैं।

एक त्रिभुज में, यदि दो कोण बराबर होते हैं, तो उन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं। चूंकि PQR में PQR और PRQ बराबर हैं, इसका मतलब है कि उनके विपरीत भुजाएँ, अर्थात् PR और PQ, भी बराबर होंगी।

एक त्रिभुज में, यदि दो कोण बराबर होते हैं, तो उन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं। चूंकि PQR में PQR और PRQ बराबर हैं, इसका मतलब है कि उनके विपरीत भुजाएँ, अर्थात् PR और PQ, भी बराबर होंगी।

चूंकि PQR की दो भुजाएँ (PQ और PR) बराबर हैं, तो परिभाषा के अनुसार, PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है। यही हमें सिद्ध करना था।

चूंकि PQR की दो भुजाएँ (PQ और PR) बराबर हैं, तो परिभाषा के अनुसार, PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है। यही हमें सिद्ध करना था।

आकृति 6.16 में $\dfrac{PS}{SQ} = \dfrac{PT}{TR}$ है तथा $\angle PST = \angle PRQ$ है। सिद्ध कीजिए कि $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

Answer: $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

Step-by-step solution

Step 1: आधारभूत समानुपातिक प्रमेय (BPT) के व्युत्क्रम का प्रयोग करना

समस्या में हमें दिया गया है कि $\frac{PS}{SQ} = \frac{PT}{TR}$ । आधारभूत समानुपातिक प्रमेय (BPT) के व्युत्क्रम के अनुसार, यदि एक रेखा त्रिभुज की दो भुजाओं को समान अनुपात में विभाजित करती है, तो वह रेखा तीसरी भुजा के समानांतर होती है। इसलिए, $ST$ भुजा $QR$ के समानांतर है।

Step 2: संगत कोणों का प्रयोग करना

चूँकि हमने स्थापित किया है कि $ST$ भुजा $QR$ के समानांतर है और $PQ$ और $PR$ तिर्यक रेखाएं हैं। जब दो समानांतर रेखाओं को एक तिर्यक रेखा काटती है, तो संगत कोण बराबर होते हैं। इस प्रकार, $\angle PST$ और $\angle PQR$ संगत कोण हैं, इसलिए वे बराबर हैं।

Step 3: दिए गए और प्राप्त कोणों की तुलना करना

हमें समस्या में दिया गया है कि $\angle PST = \angle PRQ$ । पिछले चरण से, हमने यह भी प्राप्त किया है कि $\angle PST = \angle PQR$ । इन दोनों कथनों की तुलना करने पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $\angle PQR$ और $\angle PRQ$ बराबर हैं।

Step 4: समद्विबाहु त्रिभुज की पहचान करना

एक त्रिभुज में, यदि दो कोण बराबर होते हैं, तो उन कोणों के सम्मुख भुजाएँ भी बराबर होती हैं। चूंकि $\triangle PQR$ में $\angle PQR$ और $\angle PRQ$ बराबर हैं, इसका मतलब है कि उनके विपरीत भुजाएँ, अर्थात् $PR$ और $PQ$ , भी बराबर होंगी।

Step 5: निष्कर्ष

चूंकि $\triangle PQR$ की दो भुजाएँ ( $PQ$ और $PR$ ) बराबर हैं, तो परिभाषा के अनुसार, $\triangle PQR$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है। यही हमें सिद्ध करना था।

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आकृति 6.16 में PSSQ=PTTR\dfrac{PS}{SQ} = \dfrac{PT}{TR}SQPS​=TRPT​ है तथा ∠PST=∠PRQ\angle PST = \angle PRQ∠PST=∠PRQ है। सिद्ध कीजिए कि △PQR\triangle PQR△PQR एक समद्विबाहु त्रिभुज है।