मान लीजिए अंकुर, सैय्यद और डेविड की स्थितियाँ क्रमशः A, S और D हैं। चूँकि वे वृत्त की परिसीमा पर समान दूरी पर बैठे हैं, इसलिए AS = SD = DA होगा। अतः ASD एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा की लम्बाई 2x m मान लेते हैं। वृत्त का केंद्र O है तथा त्रिज्या OA = OS = OD = 20 m है।

मान लीजिए अंकुर, सैय्यद और डेविड की स्थितियाँ क्रमशः A, S और D हैं। चूँकि वे वृत्त की परिसीमा पर समान दूरी पर बैठे हैं, इसलिए AS = SD = DA होगा। अतः ASD एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा की लम्बाई 2x m मान लेते हैं। वृत्त का केंद्र O है तथा त्रिज्या OA = OS = OD = 20 m है।

चूँकि AO = 20 m वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए केंद्रक गुणधर्म (AO)/(OM) = (2)/(1) से OM = (20)/(2) = 10 m प्राप्त होता है। इस प्रकार पूरी माध्यिका AM = AO + OM = 20 + 10 = 30 m होगी।

चूँकि AO = 20 m वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए केंद्रक गुणधर्म (AO)/(OM) = (2)/(1) से OM = (20)/(2) = 10 m प्राप्त होता है। इस प्रकार पूरी माध्यिका AM = AO + OM = 20 + 10 = 30 m होगी।

समकोण त्रिभुज AMS में पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AS² = AM² + SM²। मान रखने पर: (2x)² = 30² + x², जिससे 4x² - x² = 900 यानी 3x² = 900 प्राप्त होता है। इसलिए x² = 300, अर्थात x = 10√3 m।

समकोण त्रिभुज AMS में पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: AS² = AM² + SM²। मान रखने पर: (2x)² = 30² + x², जिससे 4x² - x² = 900 यानी 3x² = 900 प्राप्त होता है। इसलिए x² = 300, अर्थात x = 10√3 m।

6. $20\text{ m}$ त्रिज्या का एक गोल पार्क (वृत्ताकार) एक कालोनी में स्थित है। तीन लड़के अंकुर, सैय्यद तथा डेविड इसकी परिसीमा पर बराबर दूरी पर बैठे हैं और प्रत्येक के हाथ में एक खिलौना टेलीफ़ोन आपस में बात करने के लिए है। प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई ज्ञात कीजिए।

उत्तर: प्रत्येक फोन की डोरी की लम्बाई $20\sqrt{3}\text{ m}$ है।

चरण-दर-चरण हल

चरण 1: समस्या की ज्यामितीय व्याख्या

मान लीजिए अंकुर, सैय्यद और डेविड की स्थितियाँ क्रमशः $A$ , $S$ और $D$ हैं। चूँकि वे वृत्त की परिसीमा पर समान दूरी पर बैठे हैं, इसलिए $AS = SD = DA$ होगा। अतः $\triangle ASD$ एक समबाहु त्रिभुज है, जिसकी भुजा की लम्बाई $2x\text{ m}$ मान लेते हैं। वृत्त का केंद्र $O$ है तथा त्रिज्या $OA = OS = OD = 20\text{ m}$ है।

चरण 2: माध्यिका और केंद्रक का संबंध

शीर्ष $A$ से भुजा $SD$ पर लम्ब $AM$ खींचते हैं। समबाहु त्रिभुज में शीर्षलम्ब ही माध्यिका होता है, अतः $M$ , भुजा $SD$ का मध्य-बिंदु है, जिससे $SM = x$ प्राप्त होता है। समबाहु त्रिभुज का परिकेंद्र $O$ ही इसका केंद्रक होता है, जो माध्यिका $AM$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।

चरण 3: माध्यिका की कुल लम्बाई ज्ञात करना

चूँकि $AO = 20\text{ m}$ वृत्त की त्रिज्या है, इसलिए केंद्रक गुणधर्म $\frac{AO}{OM} = \frac{2}{1}$ से $OM = \frac{20}{2} = 10\text{ m}$ प्राप्त होता है। इस प्रकार पूरी माध्यिका $AM = AO + OM = 20 + 10 = 30\text{ m}$ होगी।

चरण 4: पाइथागोरस प्रमेय से भुजा की गणना

समकोण त्रिभुज $\triangle AMS$ में पाइथागोरस प्रमेय लागू करते हैं: $AS^2 = AM^2 + SM^2$ । मान रखने पर: $(2x)^2 = 30^2 + x^2$ , जिससे $4x^2 - x^2 = 900$ यानी $3x^2 = 900$ प्राप्त होता है। इसलिए $x^2 = 300$ , अर्थात $x = 10\sqrt{3}\text{ m}$ ।

चरण 5: डोरी की अभीष्ट लम्बाई

प्रत्येक डोरी की लम्बाई समबाहु त्रिभुज की भुजा $2x$ के बराबर है। अतः डोरी की कुल लम्बाई $2 \times 10\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\text{ m}$ है।

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