हमें दिया गया है कि भुजाओं OA, OB, OC और OD का गुणनफल OA · OB = OC · OD है। इन भुजाओं के अनुपात को स्थापित करने के लिए हम इस समीकरण को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित कर सकते हैं।

हमें दिया गया है कि भुजाओं OA, OB, OC और OD का गुणनफल OA · OB = OC · OD है। इन भुजाओं के अनुपात को स्थापित करने के लिए हम इस समीकरण को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित कर सकते हैं।

हमने पहले ही दिखाया है कि (OA)/(OC) = (OD)/(OB) (भुजाओं का अनुपात) और AOD = COB (बीच का कोण)। इसलिए, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज AOD और COB समरूप हैं।

हमने पहले ही दिखाया है कि (OA)/(OC) = (OD)/(OB) (भुजाओं का अनुपात) और AOD = COB (बीच का कोण)। इसलिए, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज AOD और COB समरूप हैं।

चूंकि त्रिभुज AOD और COB समरूप हैं, तो उनके संगत कोण बराबर होंगे। इसलिए, A कोण C के बराबर है, और D कोण B के बराबर है, जैसा कि हमें सिद्ध करना था।

चूंकि त्रिभुज AOD और COB समरूप हैं, तो उनके संगत कोण बराबर होंगे। इसलिए, A कोण C के बराबर है, और D कोण B के बराबर है, जैसा कि हमें सिद्ध करना था।

आकृति 6.31 में, $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ है। दर्शाइए कि $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ है।

Answer: चूंकि $\triangle AOD \sim \triangle COB$ , इसलिए $\angle A = \angle C$ और $\angle B = \angle D$ हैं।

Step-by-step solution

Step 1: दी गई जानकारी को पुनः व्यवस्थित करें

हमें दिया गया है कि भुजाओं $OA$ , $OB$ , $OC$ और $OD$ का गुणनफल $OA \cdot OB = OC \cdot OD$ है। इन भुजाओं के अनुपात को स्थापित करने के लिए हम इस समीकरण को इस प्रकार पुनः व्यवस्थित कर सकते हैं।

Step 2: सर्वांगसम कोणों की पहचान करें

आकृति 6.31 में, रेखाएँ $AC$ और $BD$ एक दूसरे को बिंदु $O$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। शीर्षभिमुख कोण हमेशा बराबर होते हैं, इसलिए $\angle AOD$ और $\angle COB$ बराबर हैं।

Step 3: त्रिभुजों की समरूपता सिद्ध करें

हमने पहले ही दिखाया है कि $\frac{OA}{OC} = \frac{OD}{OB}$ (भुजाओं का अनुपात) और $\angle AOD = \angle COB$ (बीच का कोण)। इसलिए, SAS (भुजा-कोण-भुजा) समरूपता कसौटी के अनुसार, त्रिभुज $\triangle AOD$ और $\triangle COB$ समरूप हैं।

Step 4: समरूप त्रिभुजों के संगत कोणों को पहचानें

चूंकि त्रिभुज $\triangle AOD$ और $\triangle COB$ समरूप हैं, तो उनके संगत कोण बराबर होंगे। इसलिए, $\angle A$ कोण $\angle C$ के बराबर है, और $\angle D$ कोण $\angle B$ के बराबर है, जैसा कि हमें सिद्ध करना था।

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आकृति 6.31 में, OA⋅OB=OC⋅ODOA \cdot OB = OC \cdot ODOA⋅OB=OC⋅OD है। दर्शाइए कि ∠A=∠C\angle A = \angle C∠A=∠C और ∠B=∠D\angle B = \angle D∠B=∠D है।