हमें 6 लाल गेंदों में से 3 लाल गेंदें चुननी हैं। इसके लिए हम संयोजन सूत्र {n}{k} = (n!)/(k)!(n-k)! का उपयोग करेंगे।

हमें 6 लाल गेंदों में से 3 लाल गेंदें चुननी हैं। इसके लिए हम संयोजन सूत्र {n}{k} = (n!)/(k)!(n-k)! का उपयोग करेंगे।

$6$ लाल रंग की, $5$ सफेद रंग की और $5$ नीले रंग की गेंदों में से $9$ गेंदों के चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए, यदि प्रत्येक संग्रह में प्रत्येक रंग की $3$ गेंदें हैं।

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Step-by-Step Solution

Step 1: लाल गेंदों का चयन

हमें $6$ लाल गेंदों में से $3$ लाल गेंदें चुननी हैं। इसके लिए हम संयोजन सूत्र $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k}!(n-k)!$ का उपयोग करेंगे।

Step 2: सफेद गेंदों का चयन

हमें $5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें चुननी हैं। इसके लिए भी हम संयोजन सूत्र का उपयोग करेंगे।

Step 3: नीली गेंदों का चयन

हमें $5$ नीली गेंदों में से $3$ नीली गेंदें चुननी हैं। इसके लिए भी हम संयोजन सूत्र का उपयोग करेंगे।

Step 4: प्रत्येक रंग की गेंदों के चयन की गणना

अब हम लाल गेंदों के चयन के तरीकों की गणना करते हैं। $6$ में से $3$ का संयोजन $20$ होता है।

Step 5: सफेद और नीली गेंदों के चयन की गणना

इसी प्रकार, हम सफेद गेंदों के चयन के तरीकों की गणना करते हैं। $5$ में से $3$ का संयोजन $10$ होता है। नीली गेंदों के लिए भी यही गणना लागू होती है, इसलिए $5$ में से $3$ का संयोजन $10$ होता है।

Step 6: कुल तरीकों की संख्या

चूंकि प्रत्येक रंग की गेंदों का चयन स्वतंत्र है, इसलिए कुल तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए हम प्रत्येक रंग के चयन के तरीकों को गुणा करते हैं।

Step 7: अंतिम परिणाम

सभी गणनाओं को गुणा करने पर, हमें $2000$ मिलता है। यह $9$ गेंदों को चुनने के कुल तरीकों की संख्या है, जिसमें प्रत्येक रंग की $3$ गेंदें शामिल हैं।