द्विघात समीकरण 4n² + 5n - 636 = 0 को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं: n = {-b ± √(b² - 4ac)}{2a} । यहाँ a=4 , b=5 , और c=-636 है।

द्विघात समीकरण 4n² + 5n - 636 = 0 को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं: n = {-b ± √(b² - 4ac)}{2a} । यहाँ a=4 , b=5 , और c=-636 है।

636 योग प्राप्त करने के लिए, A.P.: $9, 17, 25, ...$ के कितने पद लेने चाहिए?

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Step-by-Step Solution

Step 1: दिए गए मानों को पहचानें

सबसे पहले, हम दी गई अंकगणितीय श्रेणी (A.P.) से प्रथम पद ( $a$ ), सार्व अंतर ( $d$ ), और पदों के योग ( $S_n$ ) को पहचानते हैं। यहाँ, प्रथम पद $a = 9$ है। सार्व अंतर $d$ दूसरे पद में से पहले पद को घटाकर प्राप्त किया जाता है, जो $17 - 9 = 8$ है। पदों का योग $S_n = 636$ दिया गया है।

Step 2: पदों के योग का सूत्र लागू करें

पदों की संख्या ( $n$ ) ज्ञात करने के लिए, हम अंकगणितीय श्रेणी के $n$ पदों के योग के सूत्र का उपयोग करते हैं। यह सूत्र $S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$ है।

Step 3: मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करें

अब, हम दिए गए मानों को योग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं: $S_n = 636$ , $a = 9$ , और $d = 8$ ।

Step 4: समीकरण को सरल करें

हम समीकरण को सरल करते हैं। पहले कोष्ठक के अंदर के पदों को गुणा और जोड़ते हैं, फिर $n/2$ से गुणा करते हैं। इससे हमें एक द्विघात समीकरण प्राप्त होता है: $4n^2 + 5n - 636 = 0$ ।

Step 5: द्विघात समीकरण को हल करें

द्विघात समीकरण $4n^2 + 5n - 636 = 0$ को हल करने के लिए, हम द्विघात सूत्र का उपयोग करते हैं: $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ । यहाँ $a=4$ , $b=5$ , और $c=-636$ है।

Step 6: n के मान ज्ञात करें

द्विघात सूत्र से हमें $n$ के दो मान प्राप्त होते हैं: $n = 12$ और $n = -13.25$ । चूंकि पदों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती, हम $n = 12$ को स्वीकार करते हैं।