आव्यूह A = [[1, 2], [3, 4]] का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए और सिद्ध कीजिए कि A * A^-1 = I.
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Step-by-Step Solution
Step 1: सारणिक ज्ञात करें
आव्यूह $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ का सारणिक (determinant) $ad - bc$ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। दिए गए आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ के लिए, $a=1$, $b=2$, $c=3$ और $d=4$ है।
Step 2: सारणिक की गणना
अब हम $a=1$, $b=2$, $c=3$ और $d=4$ के मानों को सारणिक सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें $\\det(A) = -2$ प्राप्त होता है। चूंकि सारणिक शून्य नहीं है, इसलिए आव्यूह का व्युत्क्रम मौजूद है।
Step 3: सहखंडज आव्यूह ज्ञात करें
एक $2 \times 2$ आव्यूह $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ के लिए, सहखंडज (adjoint) आव्यूह ज्ञात करने के लिए, हम मुख्य विकर्ण के तत्वों को आपस में बदलते हैं और अन्य विकर्ण के तत्वों के चिह्न बदलते हैं।
Step 4: सहखंडज आव्यूह की गणना
दिए गए आव्यूह $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ के लिए, $a=1$, $b=2$, $c=3$ और $d=4$ है। इन मानों को सहखंडज सूत्र में रखने पर हमें $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ प्राप्त होता है।
Step 5: व्युत्क्रम आव्यूह ज्ञात करें
आव्यूह का व्युत्क्रम (inverse) $A^{-1} = \frac{1}{\\det(A)} \text{adj}(A)$ सूत्र का उपयोग करके ज्ञात किया जाता है। हमने $\\det(A) = -2$ और $\text{adj}(A) = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$ की गणना की है। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें $A^{-1}$ प्राप्त होता है।
Step 6: सत्यापन करें कि A * A^-1 = I
अब हम यह सत्यापित करेंगे कि $A \cdot A^{-1} = I$ है, जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। हम आव्यूह $A$ और $A^{-1}$ को गुणा करते हैं। पंक्ति-स्तंभ गुणन करने पर, हमें तत्समक आव्यूह $\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ प्राप्त होता है, जो यह सिद्ध करता है कि हमारी गणना सही है।