क्या बिंदु A(3, 6, 9), B(10, 20, 30) और C(25, -41, 5) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं?

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Step-by-Step Solution

Step 1: बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करें

दो बिंदुओं $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए, हम दूरी सूत्र का उपयोग करते हैं। हम त्रिभुज की तीनों भुजाओं की लंबाई ज्ञात करेंगे।

Step 2: भुजा AB की लंबाई ज्ञात करें

बिंदुओं $A(3, 6, 9)$ और $B(10, 20, 30)$ का उपयोग करके, हम भुजा $AB$ की लंबाई की गणना करते हैं।

Step 3: भुजा BC की लंबाई ज्ञात करें

बिंदुओं $B(10, 20, 30)$ और $C(25, -41, 5)$ का उपयोग करके, हम भुजा $BC$ की लंबाई की गणना करते हैं।

Step 4: भुजा AC की लंबाई ज्ञात करें

बिंदुओं $A(3, 6, 9)$ और $C(25, -41, 5)$ का उपयोग करके, हम भुजा $AC$ की लंबाई की गणना करते हैं।

Step 5: पाइथागोरस प्रमेय लागू करें

एक त्रिभुज समकोण त्रिभुज होता है यदि उसकी किन्हीं दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर हो (पाइथागोरस प्रमेय का विलोम)। हम प्रत्येक भुजा के वर्ग की गणना करते हैं।

Step 6: परिणामों की जाँच करें

हम जाँचते हैं कि क्या किन्हीं दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर है। चूंकि कोई भी संयोजन पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करता है, इसलिए दिए गए बिंदु एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष नहीं हैं।