यदि दो धनात्मक संख्याओं $a$ तथा $b$ के बीच समांतर माध्य तथा गुणोत्तर माध्य क्रमशः $10$ तथा $8$ हैं, तो संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य के सूत्र लिखें

हमें दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ दी गई हैं। समांतर माध्य (AM) दो संख्याओं के योग को 2 से विभाजित करने पर प्राप्त होता है, जबकि गुणोत्तर माध्य (GM) दो संख्याओं के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है।

Step 2: दिए गए मानों को सूत्रों में प्रतिस्थापित करें

समस्या में दिए गए मानों के अनुसार, समांतर माध्य $10$ है और गुणोत्तर माध्य $8$ है। इन मानों को संबंधित सूत्रों में प्रतिस्थापित करने पर हमें दो समीकरण प्राप्त होते हैं।

Step 3: एक चर को दूसरे के पदों में व्यक्त करें

समीकरण 1 ( $a+b=20$ ) से, हम $a$ को $b$ के पदों में व्यक्त कर सकते हैं। यह हमें अगले चरण में प्रतिस्थापन करने में मदद करेगा।

Step 4: द्विघात समीकरण बनाने के लिए प्रतिस्थापित करें

अब, $a$ के लिए प्राप्त व्यंजक को समीकरण 2 ( $ab=64$ ) में प्रतिस्थापित करें। इससे हमें $b$ के लिए एक द्विघात समीकरण प्राप्त होगा।

Step 5: द्विघात समीकरण को हल करें

द्विघात समीकरण $b^2 - 20b + 64 = 0$ को गुणनखंडन विधि का उपयोग करके हल करें। हमें $b$ के लिए दो मान प्राप्त होते हैं: $4$ और $16$ ।

Step 6: $a$ के संगत मान ज्ञात करें

अब, $b$ के प्रत्येक मान के लिए, समीकरण 1 ( $a=20-b$ ) का उपयोग करके $a$ के संगत मान ज्ञात करें।