A bag contains 19 unbiased coins and one coin with heads on both sides. One coin drawn at random is tossed and a head turns up. If the probability that the drawn coin was unbiased is nm, with gcd(m,n)=1, then n2−m2 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: घटनाओं को परिभाषित करें
सबसे पहले, हम समस्या में दी गई घटनाओं को परिभाषित करते हैं। U घटना है कि निकाला गया सिक्का निष्पक्ष है, B घटना है कि निकाला गया सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है, और H घटना है कि सिक्का उछालने पर हेड आता है।
Step 2: प्रायिकताओं की गणना करें
बैग में कुल 20 सिक्के हैं (19 निष्पक्ष और 1 दोनों तरफ हेड वाला)। इसलिए, निष्पक्ष सिक्का निकालने की प्रायिकता P(U)=2019 है और दोनों तरफ हेड वाला सिक्का निकालने की प्रायिकता P(B)=201 है। यदि सिक्का निष्पक्ष है, तो हेड आने की प्रायिकता P(H∣U)=21 है। यदि सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है, तो हेड आने की प्रायिकता P(H∣B)=1 है।
Step 3: बेयस प्रमेय का प्रयोग करें
हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि निकाला गया सिक्का निष्पक्ष था, यह देखते हुए कि हेड आया है। इसके लिए हम बेयस प्रमेय का उपयोग करते हैं।
Step 4: मानों को प्रतिस्थापित करें और गणना करें
अब हम पिछले चरण में परिभाषित प्रायिकताओं के मानों को बेयस प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें P(U∣H)=2119 प्राप्त होता है।
Step 5: अंतिम मान ज्ञात करें
हमें दिया गया है कि प्रायिकता nm है, जहाँ gcd(m,n)=1 । हमने P(U∣H)=2119 प्राप्त किया है, और 19 तथा 21 सह-अभाज्य हैं, इसलिए m=19 और n=21 । अब हम n2−m2 का मान ज्ञात करते हैं।
Step 6: गणना पूरी करें
हम 212=441 और 192=361 की गणना करते हैं। फिर, 441−361=80 ।