बैग में कुल 20 सिक्के हैं (19 निष्पक्ष और 1 दोनों तरफ हेड वाला)। इसलिए, निष्पक्ष सिक्का निकालने की प्रायिकता P(U) = (19)/(20) है और दोनों तरफ हेड वाला सिक्का निकालने की प्रायिकता P(B) = (1)/(20) है। यदि सिक्का निष्पक्ष है, तो हेड आने की प्रायिकता P(H|U) = (1)/(2) है। यदि सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है, तो हेड आने की प्रायिकता P(H|B) = 1 है।

बैग में कुल 20 सिक्के हैं (19 निष्पक्ष और 1 दोनों तरफ हेड वाला)। इसलिए, निष्पक्ष सिक्का निकालने की प्रायिकता P(U) = (19)/(20) है और दोनों तरफ हेड वाला सिक्का निकालने की प्रायिकता P(B) = (1)/(20) है। यदि सिक्का निष्पक्ष है, तो हेड आने की प्रायिकता P(H|U) = (1)/(2) है। यदि सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है, तो हेड आने की प्रायिकता P(H|B) = 1 है।

हमें दिया गया है कि प्रायिकता (m)/(n) है, जहाँ (m,n)=1। हमने P(U|H) = (19)/(21) प्राप्त किया है, और 19 तथा 21 सह-अभाज्य हैं, इसलिए m=19 और n=21। अब हम n² - m² का मान ज्ञात करते हैं।

हमें दिया गया है कि प्रायिकता (m)/(n) है, जहाँ (m,n)=1। हमने P(U|H) = (19)/(21) प्राप्त किया है, और 19 तथा 21 सह-अभाज्य हैं, इसलिए m=19 और n=21। अब हम n² - m² का मान ज्ञात करते हैं।

हम 21² = 441 और 19² = 361 की गणना करते हैं। फिर, 441 - 361 = 80।

A bag contains 19 unbiased coins and one coin with heads on both sides. One coin drawn at random is tossed and a head turns up. If the probability that the drawn coin was unbiased is $\frac{m}{n}$ , with $\gcd(m,n)=1$ , then $n^2 - m^2$ is equal to:

Answer: 80

Step-by-step solution

Step 1: घटनाओं को परिभाषित करें

सबसे पहले, हम समस्या में दी गई घटनाओं को परिभाषित करते हैं। $U$ घटना है कि निकाला गया सिक्का निष्पक्ष है, $B$ घटना है कि निकाला गया सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है, और $H$ घटना है कि सिक्का उछालने पर हेड आता है।

Step 2: प्रायिकताओं की गणना करें

बैग में कुल 20 सिक्के हैं (19 निष्पक्ष और 1 दोनों तरफ हेड वाला)। इसलिए, निष्पक्ष सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(U) = \frac{19}{20}$ है और दोनों तरफ हेड वाला सिक्का निकालने की प्रायिकता $P(B) = \frac{1}{20}$ है। यदि सिक्का निष्पक्ष है, तो हेड आने की प्रायिकता $P(H|U) = \frac{1}{2}$ है। यदि सिक्का दोनों तरफ हेड वाला है, तो हेड आने की प्रायिकता $P(H|B) = 1$ है।

Step 3: बेयस प्रमेय का प्रयोग करें

हमें यह प्रायिकता ज्ञात करनी है कि निकाला गया सिक्का निष्पक्ष था, यह देखते हुए कि हेड आया है। इसके लिए हम बेयस प्रमेय का उपयोग करते हैं।

Step 4: मानों को प्रतिस्थापित करें और गणना करें

अब हम पिछले चरण में परिभाषित प्रायिकताओं के मानों को बेयस प्रमेय के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर, हमें $P(U|H) = \frac{19}{21}$ प्राप्त होता है।

Step 5: अंतिम मान ज्ञात करें

हमें दिया गया है कि प्रायिकता $\frac{m}{n}$ है, जहाँ $\gcd(m,n)=1$ । हमने $P(U|H) = \frac{19}{21}$ प्राप्त किया है, और $19$ तथा $21$ सह-अभाज्य हैं, इसलिए $m=19$ और $n=21$ । अब हम $n^2 - m^2$ का मान ज्ञात करते हैं।

Step 6: गणना पूरी करें

हम $21^2 = 441$ और $19^2 = 361$ की गणना करते हैं। फिर, $441 - 361 = 80$ ।

Solve your own maths question free →

A bag contains 19 unbiased coins and one coin with heads on both sides. One coin drawn at random is tossed and a head turns up. If the probability that the drawn coin was unbiased is mn\frac{m}{n}nm​, with gcd⁡(m,n)=1\gcd(m,n)=1gcd(m,n)=1, then n2−m2n^2 - m^2n2−m2 is equal to: