अंत में, हम प्रसरण Var(X) की गणना सूत्र Var(X) = E(X²) - [E(X)]² का उपयोग करके करते हैं। हम E(X²) के मान से E(X) के वर्ग को घटाते हैं।

अंत में, हम प्रसरण Var(X) की गणना सूत्र Var(X) = E(X²) - [E(X)]² का उपयोग करके करते हैं। हम E(X²) के मान से E(X) के वर्ग को घटाते हैं।

A box contains 10 pens of which 3 are defective. A sample of 2 pens is drawn at random and let X denote the number of defective pens. Then the variance of X is:

Answer: दोषपूर्ण पेनों की संख्या के प्रसरण का मान $\frac{28}{75}$ है।

Step-by-step solution

Step 1: संभाव्यता वितरण ज्ञात करें

हमें यादृच्छिक चर $X$ का संभाव्यता वितरण ज्ञात करना होगा, जो निकाले गए 2 पेनों में से दोषपूर्ण पेनों की संख्या को दर्शाता है। कुल 10 पेन हैं, जिनमें से 3 दोषपूर्ण हैं और 7 गैर-दोषपूर्ण हैं। हम 2 पेन यादृच्छिक रूप से निकालते हैं। $X$ का मान 0, 1, या 2 हो सकता है।

Step 2: प्रत्येक मान के लिए संभाव्यता की गणना करें

अब हम $X$ के प्रत्येक संभावित मान के लिए संभाव्यता की गणना करते हैं। $P(X=0)$ का अर्थ है कि कोई भी दोषपूर्ण पेन नहीं निकाला गया। $P(X=1)$ का अर्थ है कि एक दोषपूर्ण पेन निकाला गया। $P(X=2)$ का अर्थ है कि दो दोषपूर्ण पेन निकाले गए। कुल संभावित तरीकों की संख्या $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ है।

Step 3: अपेक्षित मान $E(X)$ ज्ञात करें

यादृच्छिक चर $X$ का अपेक्षित मान $E(X)$ सूत्र $E(X) = \sum x P(X=x)$ का उपयोग करके गणना की जाती है। हम प्रत्येक मान को उसकी संगत संभाव्यता से गुणा करते हैं और परिणामों को जोड़ते हैं।

Step 4: अपेक्षित मान $E(X^2)$ ज्ञात करें

प्रसरण की गणना के लिए, हमें $E(X^2)$ की भी आवश्यकता होती है। हम प्रत्येक $x$ मान के वर्ग को उसकी संगत संभाव्यता से गुणा करते हैं और परिणामों को जोड़ते हैं।

Step 5: प्रसरण $Var(X)$ ज्ञात करें

अंत में, हम प्रसरण $Var(X)$ की गणना सूत्र $Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$ का उपयोग करके करते हैं। हम $E(X^2)$ के मान से $E(X)$ के वर्ग को घटाते हैं।

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