A candidate has to reach the examination center in time. The probability that he travels by metro, bus, or taxi are 3/10, 1/5, and 1/10 respectively, and 2/5 by personal vehicle. The probability that he will be late if he travels by metro, bus, or taxi are 1/9, 1/3, and 1/12 respectively, but if he travels by personal vehicle, he will not be late. Given that he reached the center in time, find the probability that he travelled by metro.
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Step-by-Step Solution
Step 1: घटनाओं को परिभाषित करें
हम पहले दी गई सभी घटनाओं को परिभाषित करते हैं। इससे समस्या को व्यवस्थित करने और सूत्र को सही ढंग से लागू करने में मदद मिलेगी। 'देर से न पहुंचना' इसका मतलब है 'समय पर पहुंचना'।
Step 2: दी गई प्रायिकताओं को लिखें
समस्या में दी गई घटनाओं के लिए प्रायिकताओं को सूचीबद्ध करें। ये प्रायिकताएँ उम्मीदवार के यात्रा के साधन और प्रत्येक साधन से देर से पहुंचने की सशर्त प्रायिकता को दर्शाती हैं।
Step 3: समय पर पहुंचने की सशर्त प्रायिकताएँ ज्ञात करें
चूंकि हमें घटना L′ (समय पर पहुंचना) की प्रायिकता ज्ञात करनी है, इसलिए हमें प्रत्येक यात्रा साधन के लिए समय पर पहुंचने की सशर्त प्रायिकता की गणना करनी होगी। यह P(L′∣X)=1−P(L∣X) का उपयोग करके किया जाता है, जहां X यात्रा का साधन है।
Step 4: कुल प्रायिकता प्रमेय का उपयोग करके P(L') ज्ञात करें
हम कुल प्रायिकता प्रमेय का उपयोग करके समय पर पहुंचने की समग्र प्रायिकता (P(L')) की गणना करते हैं। इसमें यात्रा के प्रत्येक साधन की प्रायिकता को उस साधन से समय पर पहुंचने की सशर्त प्रायिकता से गुणा करना और फिर सभी परिणामों को जोड़ना शामिल है।
Step 5: बेयस प्रमेय का उपयोग करें
अब, हम यह निर्धारित करने के लिए बेयस प्रमेय लागू करते हैं कि यदि वह समय पर पहुंचा है तो उसके मेट्रो से यात्रा करने की प्रायिकता क्या है। यह P(M|L') के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो P(L'|M), P(M) और P(L') मानों का उपयोग करके गणना की जाती है।