घटनाएँ निःशेष (exhaustive) होती हैं यदि उनका संघ (union) प्रतिदर्श समष्टि के बराबर हो, अर्थात वे सभी संभावित परिणामों को कवर करती हों। यहाँ, A B C = TTT HTT, THT, TTH HHH, HHT, HTH, THH = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT = S. चूंकि सभी संभावित परिणाम A, B, और C में शामिल हैं, इसलिए घटनाएँ निःशेष हैं।

घटनाएँ निःशेष (exhaustive) होती हैं यदि उनका संघ (union) प्रतिदर्श समष्टि के बराबर हो, अर्थात वे सभी संभावित परिणामों को कवर करती हों। यहाँ, A B C = TTT HTT, THT, TTH HHH, HHT, HTH, THH = HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT = S. चूंकि सभी संभावित परिणाम A, B, और C में शामिल हैं, इसलिए घटनाएँ निःशेष हैं।

A coin is tossed three times, consider the following events. A: 'No head appears', B: 'Exactly one head appears' and C: 'Atleast two heads appear'. Do they form a set of mutually exclusive and exhaustive events?

Answer: हाँ, घटनाएँ A, B और C पारस्परिक अपवर्जी और निःशेष घटनाओं का एक समुच्चय बनाती हैं।

Step-by-step solution

Step 1: प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात करें

जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि (sample space) $S$ होता है। प्रत्येक परिणाम में तीन उछालों का क्रम दिखाया गया है, जहाँ $H$ हेड (चित) और $T$ टेल (पट) को दर्शाता है।

Step 2: घटनाओं को परिभाषित करें

दी गई घटनाओं को प्रतिदर्श समष्टि के परिणामों के आधार पर परिभाषित करें: घटना $A$ : 'कोई हेड नहीं आता' का अर्थ है कि तीनों उछालों में टेल आता है। घटना $B$ : 'ठीक एक हेड आता' का अर्थ है कि केवल एक हेड आता है और बाकी दो टेल होते हैं। घटना $C$ : 'कम से कम दो हेड आते' का अर्थ है कि दो या तीन हेड आते हैं।

Step 3: पारस्परिक अपवर्जी घटनाओं की जाँच करें

दो घटनाएँ पारस्परिक अपवर्जी (mutually exclusive) होती हैं यदि उनमें कोई भी परिणाम उभयनिष्ठ न हो, अर्थात उनका प्रतिच्छेदन (intersection) एक रिक्त समुच्चय हो। यहाँ, $A$ और $B$ में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है। $B$ और $C$ में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है। $A$ और $C$ में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है। इसलिए, घटनाएँ $A, B,$ और $C$ पारस्परिक अपवर्जी हैं।

Step 4: निःशेष घटनाओं की जाँच करें

घटनाएँ निःशेष (exhaustive) होती हैं यदि उनका संघ (union) प्रतिदर्श समष्टि के बराबर हो, अर्थात वे सभी संभावित परिणामों को कवर करती हों। यहाँ, $A \cup B \cup C = \{TTT\} \cup \{$ HTT, THT, TTH \} $\cup$ \{ HHH, HHT, HTH, THH $\} = \{$ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \} = S. चूंकि सभी संभावित परिणाम A, B, और C में शामिल हैं, इसलिए घटनाएँ निःशेष हैं।

Step 5: निष्कर्ष

चूंकि घटनाएँ $A, B,$ और $C$ दोनों पारस्परिक अपवर्जी और निःशेष हैं, इसलिए वे पारस्परिक अपवर्जी और निःशेष घटनाओं का एक समुच्चय बनाती हैं।

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