A coin is tossed three times, consider the following events.
A: 'No head appears', B: 'Exactly one head appears' and C: 'Atleast two heads appear'.
Do they form a set of mutually exclusive and exhaustive events?
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Step-by-Step Solution
Step 1: प्रतिदर्श समष्टि ज्ञात करें
जब एक सिक्के को तीन बार उछाला जाता है, तो संभावित परिणामों का प्रतिदर्श समष्टि (sample space) S होता है। प्रत्येक परिणाम में तीन उछालों का क्रम दिखाया गया है, जहाँ H हेड (चित) और T टेल (पट) को दर्शाता है।
Step 2: घटनाओं को परिभाषित करें
दी गई घटनाओं को प्रतिदर्श समष्टि के परिणामों के आधार पर परिभाषित करें:
घटना A: 'कोई हेड नहीं आता' का अर्थ है कि तीनों उछालों में टेल आता है।
घटना B: 'ठीक एक हेड आता' का अर्थ है कि केवल एक हेड आता है और बाकी दो टेल होते हैं।
घटना C: 'कम से कम दो हेड आते' का अर्थ है कि दो या तीन हेड आते हैं।
Step 3: पारस्परिक अपवर्जी घटनाओं की जाँच करें
दो घटनाएँ पारस्परिक अपवर्जी (mutually exclusive) होती हैं यदि उनमें कोई भी परिणाम उभयनिष्ठ न हो, अर्थात उनका प्रतिच्छेदन (intersection) एक रिक्त समुच्चय हो।
यहाँ, A और B में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है।
B और C में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है।
A और C में कोई उभयनिष्ठ परिणाम नहीं है।
इसलिए, घटनाएँ A, B, और C पारस्परिक अपवर्जी हैं।
Step 4: निःशेष घटनाओं की जाँच करें
घटनाएँ निःशेष (exhaustive) होती हैं यदि उनका संघ (union) प्रतिदर्श समष्टि के बराबर हो, अर्थात वे सभी संभावित परिणामों को कवर करती हों।
यहाँ, A∪B∪C={TTT}∪{ HTT, THT, TTH \} ∪ \{ HHH, HHT, HTH, THH }={ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \} = S.
चूंकि सभी संभावित परिणाम A, B, और C$ में शामिल हैं, इसलिए घटनाएँ निःशेष हैं।
Step 5: निष्कर्ष
चूंकि घटनाएँ A, B, और C दोनों पारस्परिक अपवर्जी और निःशेष हैं, इसलिए वे पारस्परिक अपवर्जी और निःशेष घटनाओं का एक समुच्चय बनाती हैं।