हम i² = -1 का उपयोग करते हैं और समान पदों को संयोजित करते हैं।

निम्नलिखित को a + ib के रूप में व्यक्त करें। (i) $\frac{5+\sqrt{2}i}{1-\sqrt{2}i}$ (ii) $i^{-35}$

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Step-by-Step Solution

Step 1: पहले व्यंजक को सरल करें

पहले व्यंजक को a+ib के रूप में व्यक्त करने के लिए, हम हर के संयुग्मी से अंश और हर को गुणा करते हैं। हर $1-\sqrt{2}i$ का संयुग्मी $1+\sqrt{2}i$ है।

Step 2: गुणा करें और सरल करें

अब हम अंश और हर में पदों को गुणा करते हैं। अंश में, हम वितरण गुण का उपयोग करते हैं, और हर में, हम $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ सूत्र का उपयोग करते हैं।

Step 3: आगे सरल करें

हम $i^2 = -1$ का उपयोग करते हैं और समान पदों को संयोजित करते हैं।

Step 4: अंतिम रूप में व्यक्त करें

अंश के प्रत्येक पद को हर से विभाजित करने पर, हमें a+ib के रूप में अंतिम उत्तर प्राप्त होता है।

Step 5: दूसरे व्यंजक को सरल करें

दूसरे व्यंजक $i^{-35}$ को सरल करने के लिए, हम ऋणात्मक घातांक नियम का उपयोग करते हैं, जो कहता है कि $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$ ।

Step 6: घात को सरल करें

हम $i$ की घात को $4$ के गुणज में तोड़ते हैं क्योंकि $i^4 = 1$ । $35$ को $4$ से विभाजित करने पर, हमें $8$ का भागफल और $3$ का शेषफल मिलता है, इसलिए $i^{35} = i^{4 \times 8 + 3} = (i^4)^8 \cdot i^3$ ।

Step 7: अंतिम रूप में व्यक्त करें

हम $i^4 = 1$ और $i^3 = -i$ का उपयोग करते हैं। फिर, हम हर में $i$ को हटाने के लिए अंश और हर को $i$ से गुणा करते हैं।