हिंदी में जवाब दो: A matchstick pattern uses 4 sticks for 1 square, 7 sticks for 2 squares joined in a row, and 10 sticks for 3 squares. Write a rule for the number of sticks needed to make n squares.

Step 1: पैटर्न का विश्लेषण करें (Analyze the pattern)

सबसे पहले, हम दिए गए पैटर्न का विश्लेषण करते हैं। जब 1 वर्ग होता है, तो 4 तीलियाँ लगती हैं। जब 2 वर्ग होते हैं, तो 7 तीलियाँ लगती हैं, और जब 3 वर्ग होते हैं, तो 10 तीलियाँ लगती हैं।

Step 2: पदों के बीच का अंतर ज्ञात करें (Find the difference between terms)

हम देखते हैं कि लगातार पदों के बीच का अंतर स्थिर है। $7 - 4 = 3$ और $10 - 7 = 3$ । यह दर्शाता है कि यह एक समांतर श्रेणी (Arithmetic Progression) है, जहाँ सार्व अंतर (common difference) $d = 3$ है।

Step 3: समांतर श्रेणी के $n$ -वें पद का सूत्र लागू करें (Apply the formula for the $n$ -th term of an AP)

एक समांतर श्रेणी के $n$ -वें पद का सूत्र $a_n = a + (n-1)d$ होता है, जहाँ $a$ पहला पद है और $d$ सार्व अंतर है। इस पैटर्न में, पहला पद $a = 4$ है और सार्व अंतर $d = 3$ है। हम इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं।

Step 4: सूत्र को सरल करें (Simplify the formula)

अब हम सूत्र को सरल करते हैं। $3$ को $(n-1)$ से गुणा करने पर $3n - 3$ मिलता है। फिर, हम $4$ और $-3$ को जोड़ते हैं, जिससे $1$ मिलता है। इस प्रकार, $n$ वर्गों के लिए आवश्यक माचिस की तीलियों की संख्या का नियम $3n + 1$ है।

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• Observe the pattern: 1 = 1, 1 + 3 = 4, 1 + 3 + 5 = 9. Using this pattern, find the sum of the first 8 odd numbers and explain why the pattern works.

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