यदि किसी A.P. के प्रथम $n$ पदों का योग $4n - n^2$ है, तो इसका प्रथम पद (अर्थात् $S_1$ ) क्या है? प्रथम दो पदों का योग क्या है? दूसरा पद क्या है? इसी प्रकार, तीसरे, 10वें और $n$ वें पद ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: प्रथम पद ( $a_1$ ) ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि एक समांतर श्रेणी (A.P.) के प्रथम $n$ पदों का योग $S_n = 4n - n^2$ है। हम जानते हैं कि प्रथम पद $a_1$ प्रथम एक पद के योग ( $S_1$ ) के बराबर होता है। इसलिए, $n=1$ को $S_n$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करके हम $S_1$ ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: प्रथम पद ( $a_1$ ) और प्रथम दो पदों का योग ( $S_2$ ) ज्ञात करना

पिछले चरण में हमने $S_1$ का मान $3$ प्राप्त किया, जो कि प्रथम पद $a_1$ है। अब हम प्रथम दो पदों का योग ( $S_2$ ) ज्ञात करेंगे। इसके लिए, हम $n=2$ को $S_n$ के सूत्र में प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 3: दूसरा पद ( $a_2$ ) ज्ञात करना

हमने $S_2$ का मान $4$ प्राप्त किया। हम जानते हैं कि किसी भी समांतर श्रेणी का $n$ वाँ पद $a_n = S_n - S_{n-1}$ होता है। इसलिए, दूसरा पद $a_2$ ज्ञात करने के लिए, हम $S_2$ में से $S_1$ को घटाएंगे।

Step 4: $n$ वाँ पद ( $a_n$ ) ज्ञात करना

हमने दूसरा पद $a_2 = 1$ ज्ञात किया। अब हम $n$ वें पद ( $a_n$ ) के लिए एक सामान्य सूत्र ज्ञात करेंगे। हम जानते हैं कि $a_n = S_n - S_{n-1}$ । हम $S_n$ और $S_{n-1}$ के सूत्रों को प्रतिस्थापित करेंगे।

Step 5: $n$ वें पद ( $a_n$ ) का सरलीकरण

अब हम $a_n$ के लिए व्यंजक को सरल करेंगे। हम कोष्ठकों को खोलेंगे और समान पदों को संयोजित करेंगे।

Step 6: तीसरा पद ( $a_3$ ) और 10वाँ पद ( $a_{10}$ ) ज्ञात करना

अब जब हमारे पास $n$ वें पद के लिए सूत्र $a_n = -2n + 5$ है, तो हम तीसरे पद ( $a_3$ ) और 10वें पद ( $a_{10}$ ) को ज्ञात करने के लिए $n=3$ और $n=10$ को इस सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।