A particle moves in the plane with position vector r⃗(t) = (t², et). Find its velocity, acceleration, and the tangential and normal components of acceleration at t=1.
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Step-by-Step Solution
Step 1: स्थिति सदिश से वेग सदिश ज्ञात करना
कण का वेग सदिश स्थिति सदिश का समय के सापेक्ष पहला अवकलज होता है। हम स्थिति सदिश के प्रत्येक घटक का अलग-अलग अवकलन करेंगे।
Step 2: वेग सदिश का मान ज्ञात करना
अवकलन करने पर हमें वेग सदिश v(t)=(2t,et) प्राप्त होता है। t=1 पर वेग ज्ञात करने के लिए, हम t=1 को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 3: वेग सदिश से त्वरण सदिश ज्ञात करना
कण का त्वरण सदिश वेग सदिश का समय के सापेक्ष पहला अवकलज (या स्थिति सदिश का दूसरा अवकलज) होता है। हम वेग सदिश के प्रत्येक घटक का अलग-अलग अवकलन करेंगे।
Step 4: त्वरण सदिश का मान ज्ञात करना
अवकलन करने पर हमें त्वरण सदिश a(t)=(2,et) प्राप्त होता है। t=1 पर त्वरण ज्ञात करने के लिए, हम t=1 को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं।
Step 5: स्पर्शरेखीय त्वरण घटक ज्ञात करना
स्पर्शरेखीय त्वरण घटक aT वेग सदिश और त्वरण सदिश के डॉट उत्पाद को वेग सदिश के परिमाण से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है। यह गति की दिशा में त्वरण का घटक है।
Step 6: अभिलंब त्वरण घटक ज्ञात करना
अभिलंब त्वरण घटक aN त्वरण सदिश के परिमाण के वर्ग और स्पर्शरेखीय त्वरण घटक के वर्ग के अंतर के वर्गमूल के रूप में पाया जाता है। यह गति की दिशा के लंबवत त्वरण का घटक है। इस मामले में, अभिलंब त्वरण शून्य है, जिसका अर्थ है कि कण एक सीधी रेखा में गति कर रहा है।