A sphere of radius r is inscribed in a cone with base radius R and height h. Find the relationship between r, R, and h.
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Step-by-Step Solution
Step 1: शंकु और गोले का आरेख बनाना
हम शंकु और उसमें अंकित गोले का एक क्रॉस-सेक्शनल आरेख बनाते हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज के अंदर एक वृत्त के रूप में दिखाई देगा। शंकु की ऊँचाई h, आधार त्रिज्या R और गोले की त्रिज्या r को आरेख पर चिह्नित करें।
Step 2: समरूप त्रिभुजों की पहचान करना
आरेख से, हम दो समरूप त्रिभुजों की पहचान कर सकते हैं: बड़ा त्रिभुज △ADC (शंकु का आधा क्रॉस-सेक्शन) और छोटा त्रिभुज △OEC (गोले के केंद्र से शंकु की तिरछी ऊँचाई तक)। ये त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर हैं (दोनों में एक समकोण है और कोण C उभयनिष्ठ है)।
Step 3: समरूप त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करना
समरूप त्रिभुजों के संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं: OEAD=ECDC=OCAC । यहाँ, AD=R (शंकु की आधार त्रिज्या), OE=r (गोले की त्रिज्या), DC=h (शंकु की ऊँचाई)।
Step 4: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तिरछी ऊँचाई ज्ञात करना
त्रिभुज △ADC में, AC शंकु की तिरछी ऊँचाई है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम AC को R और h के पदों में ज्ञात कर सकते हैं।
Step 5: संबंध स्थापित करना
समरूप त्रिभुजों के अनुपात से, हम OEAD=OCAC का उपयोग करते हैं। AD=R, OE=r, AC=R2+h2 और OC=DC−DO=h−r (चूंकि DO=r)। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें rR=h−rR2+h2 प्राप्त होता है।
Step 6: संबंध को सरल बनाना
पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को r के लिए हल करने पर, हमें R(h−r)=rR2+h2 मिलता है। इसे आगे सरल करने पर Rh−Rr=rR2+h2 । r वाले पदों को एक साथ लाने पर Rh=r(R+R2+h2) । अंत में, r=R+R2+h2Rh ।