आरेख से, हम दो समरूप त्रिभुजों की पहचान कर सकते हैं: बड़ा त्रिभुज ADC (शंकु का आधा क्रॉस-सेक्शन) और छोटा त्रिभुज OEC (गोले के केंद्र से शंकु की तिरछी ऊँचाई तक)। ये त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर हैं (दोनों में एक समकोण है और कोण C उभयनिष्ठ है)।

आरेख से, हम दो समरूप त्रिभुजों की पहचान कर सकते हैं: बड़ा त्रिभुज ADC (शंकु का आधा क्रॉस-सेक्शन) और छोटा त्रिभुज OEC (गोले के केंद्र से शंकु की तिरछी ऊँचाई तक)। ये त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर हैं (दोनों में एक समकोण है और कोण C उभयनिष्ठ है)।

समरूप त्रिभुजों के संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं: (AD)/(OE) = (DC)/(EC) = (AC)/(OC)। यहाँ, AD = R (शंकु की आधार त्रिज्या), OE = r (गोले की त्रिज्या), DC = h (शंकु की ऊँचाई)।

समरूप त्रिभुजों के संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं: (AD)/(OE) = (DC)/(EC) = (AC)/(OC)। यहाँ, AD = R (शंकु की आधार त्रिज्या), OE = r (गोले की त्रिज्या), DC = h (शंकु की ऊँचाई)।

समरूप त्रिभुजों के अनुपात से, हम (AD)/(OE) = (AC)/(OC) का उपयोग करते हैं। AD = R, OE = r, AC = √(R² + h²) और OC = DC - DO = h - r (चूंकि DO = r)। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें (R)/(r) = (√(R² + h²))/(h - r) प्राप्त होता है।

समरूप त्रिभुजों के अनुपात से, हम (AD)/(OE) = (AC)/(OC) का उपयोग करते हैं। AD = R, OE = r, AC = √(R² + h²) और OC = DC - DO = h - r (चूंकि DO = r)। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें (R)/(r) = (√(R² + h²))/(h - r) प्राप्त होता है।

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को r के लिए हल करने पर, हमें R(h-r) = r√(R² + h²) मिलता है। इसे आगे सरल करने पर Rh - Rr = r√(R² + h²)। r वाले पदों को एक साथ लाने पर Rh = r(R + √(R² + h²))। अंत में, r = (Rh)/(R + √(R² + h²))।

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को r के लिए हल करने पर, हमें R(h-r) = r√(R² + h²) मिलता है। इसे आगे सरल करने पर Rh - Rr = r√(R² + h²)। r वाले पदों को एक साथ लाने पर Rh = r(R + √(R² + h²))। अंत में, r = (Rh)/(R + √(R² + h²))।

A sphere of radius r is inscribed in a cone with base radius R and height h. Find the relationship between r, R, and h.

Answer: गोले की त्रिज्या $r$ , शंकु की आधार त्रिज्या $R$ और शंकु की ऊँचाई $h$ के बीच संबंध है: $r = \frac{Rh}{R + \sqrt{R^2 + h^2}}$

Step-by-step solution

Step 1: शंकु और गोले का आरेख बनाना

हम शंकु और उसमें अंकित गोले का एक क्रॉस-सेक्शनल आरेख बनाते हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज के अंदर एक वृत्त के रूप में दिखाई देगा। शंकु की ऊँचाई $h$ , आधार त्रिज्या $R$ और गोले की त्रिज्या $r$ को आरेख पर चिह्नित करें।

Step 2: समरूप त्रिभुजों की पहचान करना

आरेख से, हम दो समरूप त्रिभुजों की पहचान कर सकते हैं: बड़ा त्रिभुज $\triangle{ADC}$ (शंकु का आधा क्रॉस-सेक्शन) और छोटा त्रिभुज $\triangle{OEC}$ (गोले के केंद्र से शंकु की तिरछी ऊँचाई तक)। ये त्रिभुज समरूप हैं क्योंकि उनके संगत कोण बराबर हैं (दोनों में एक समकोण है और कोण $C$ उभयनिष्ठ है)।

Step 3: समरूप त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करना

समरूप त्रिभुजों के संगत भुजाओं का अनुपात बराबर होता है। इसलिए, हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं: $\frac{AD}{OE} = \frac{DC}{EC} = \frac{AC}{OC}$ । यहाँ, $AD = R$ (शंकु की आधार त्रिज्या), $OE = r$ (गोले की त्रिज्या), $DC = h$ (शंकु की ऊँचाई)।

Step 4: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके तिरछी ऊँचाई ज्ञात करना

त्रिभुज $\triangle{ADC}$ में, $AC$ शंकु की तिरछी ऊँचाई है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके, हम $AC$ को $R$ और $h$ के पदों में ज्ञात कर सकते हैं।

Step 5: संबंध स्थापित करना

समरूप त्रिभुजों के अनुपात से, हम $\frac{AD}{OE} = \frac{AC}{OC}$ का उपयोग करते हैं। $AD = R$ , $OE = r$ , $AC = \sqrt{R^2 + h^2}$ और $OC = DC - DO = h - r$ (चूंकि $DO = r$ )। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हमें $\frac{R}{r} = \frac{\sqrt{R^2 + h^2}}{h - r}$ प्राप्त होता है।

Step 6: संबंध को सरल बनाना

पिछले चरण से प्राप्त समीकरण को $r$ के लिए हल करने पर, हमें $R(h-r) = r\sqrt{R^2 + h^2}$ मिलता है। इसे आगे सरल करने पर $Rh - Rr = r\sqrt{R^2 + h^2}$ । $r$ वाले पदों को एक साथ लाने पर $Rh = r(R + \sqrt{R^2 + h^2})$ । अंत में, $r = \frac{Rh}{R + \sqrt{R^2 + h^2}}$ ।

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