हमें दिया गया है कि जब आइसक्रीम परत की मोटाई x = 1 cm है, तो आइसक्रीम 81 cm³ / min की दर से पिघलती है, जिसका अर्थ है (dV)/(dt) = 81 cm³ / min। आइसक्रीम परत की मोटाई (1)/(4π) cm / min की दर से घटती है, जिसका अर्थ है (dx)/(dt) = (1)/(4π) cm / min। इन मानों को अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 81 = 4π (R+1)² ( (1)/(4π)) मिलता है।

हमें दिया गया है कि जब आइसक्रीम परत की मोटाई x = 1 cm है, तो आइसक्रीम 81 cm³ / min की दर से पिघलती है, जिसका अर्थ है (dV)/(dt) = 81 cm³ / min। आइसक्रीम परत की मोटाई (1)/(4π) cm / min की दर से घटती है, जिसका अर्थ है (dx)/(dt) = (1)/(4π) cm / min। इन मानों को अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 81 = 4π (R+1)² ( (1)/(4π)) मिलता है।

चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 4π R² सूत्र द्वारा दिया जाता है। R = 8 cm को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = 4π (8)² = 256π cm² मिलता है।

चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल A = 4π R² सूत्र द्वारा दिया जाता है। R = 8 cm को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A = 4π (8)² = 256π cm² मिलता है।

A spherical chocolate ball has a layer of ice-cream of uniform thickness around it. When the thickness of the ice-cream layer is $1 \, \text{cm}$ , the ice-cream melts at the rate of $81 \, \text{cm}^3 / \text{min}$ and the thickness of the ice-cream layer decreases at the rate of $\frac{1}{4\pi} \, \text{cm} / \text{min}$ . The surface area (in $\text{cm}^2$ ) of the chocolate ball (without the ice-cream layer) is:

Answer: $256\pi \, \text{cm}^2$

Step-by-step solution

Step 1: चरों को परिभाषित करें

हम चॉकलेट बॉल की त्रिज्या को $R$ से, आइसक्रीम सहित कुल त्रिज्या को $r$ से, और आइसक्रीम परत की मोटाई को $x$ से दर्शाते हैं।

Step 2: आयतन और मोटाई के बीच संबंध स्थापित करें

आइसक्रीम सहित कुल त्रिज्या $r$ चॉकलेट बॉल की त्रिज्या $R$ और आइसक्रीम परत की मोटाई $x$ का योग है। आइसक्रीम सहित कुल आयतन $V$ गोले के आयतन सूत्र $\frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।

Step 3: समय के संबंध में आयतन का अवकलन करें

हम समय $t$ के संबंध में आयतन $V$ का अवकलन करते हैं। श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हमें $\frac{dV}{dt} = 4\pi (R+x)^2 \frac{dx}{dt}$ मिलता है।

Step 4: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें

हमें दिया गया है कि जब आइसक्रीम परत की मोटाई $x = 1 \, \text{cm}$ है, तो आइसक्रीम $81 \, \text{cm}^3 / \text{min}$ की दर से पिघलती है, जिसका अर्थ है $\frac{dV}{dt} = 81 \, \text{cm}^3 / \text{min}$ । आइसक्रीम परत की मोटाई $\frac{1}{4\pi} \, \text{cm} / \text{min}$ की दर से घटती है, जिसका अर्थ है $\frac{dx}{dt} = \frac{1}{4\pi} \, \text{cm} / \text{min}$ । इन मानों को अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $81 = 4\pi (R+1)^2 \left( \frac{1}{4\pi} \right)$ मिलता है।

Step 5: चॉकलेट बॉल की त्रिज्या ज्ञात करें

समीकरण को सरल करने पर, हमें $81 = (R+1)^2$ मिलता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, $R+1 = 9$ मिलता है। इसलिए, चॉकलेट बॉल की त्रिज्या $R = 8 \, \text{cm}$ है।

Step 6: चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें

चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है। $R = 8 \, \text{cm}$ को प्रतिस्थापित करने पर, हमें $A = 4\pi (8)^2 = 256\pi \, \text{cm}^2$ मिलता है।

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