A spherical chocolate ball has a layer of ice-cream of uniform thickness around it. When the thickness of the ice-cream layer is 1cm, the ice-cream melts at the rate of 81cm3/min and the thickness of the ice-cream layer decreases at the rate of 4π1cm/min. The surface area (in cm2) of the chocolate ball (without the ice-cream layer) is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: चरों को परिभाषित करें
हम चॉकलेट बॉल की त्रिज्या को R से, आइसक्रीम सहित कुल त्रिज्या को r से, और आइसक्रीम परत की मोटाई को x से दर्शाते हैं।
Step 2: आयतन और मोटाई के बीच संबंध स्थापित करें
आइसक्रीम सहित कुल त्रिज्या r चॉकलेट बॉल की त्रिज्या R और आइसक्रीम परत की मोटाई x का योग है। आइसक्रीम सहित कुल आयतन V गोले के आयतन सूत्र 34πr3 द्वारा दिया जाता है।
Step 3: समय के संबंध में आयतन का अवकलन करें
हम समय t के संबंध में आयतन V का अवकलन करते हैं। श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हमें dtdV=4π(R+x)2dtdx मिलता है।
Step 4: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें
हमें दिया गया है कि जब आइसक्रीम परत की मोटाई x=1cm है, तो आइसक्रीम 81cm3/min की दर से पिघलती है, जिसका अर्थ है dtdV=81cm3/min । आइसक्रीम परत की मोटाई 4π1cm/min की दर से घटती है, जिसका अर्थ है dtdx=4π1cm/min । इन मानों को अवकलित समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें 81=4π(R+1)2(4π1) मिलता है।
Step 5: चॉकलेट बॉल की त्रिज्या ज्ञात करें
समीकरण को सरल करने पर, हमें 81=(R+1)2 मिलता है। दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर, R+1=9 मिलता है। इसलिए, चॉकलेट बॉल की त्रिज्या R=8cm है।
Step 6: चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें
चॉकलेट बॉल का पृष्ठीय क्षेत्रफल A=4πR2 सूत्र द्वारा दिया जाता है। R=8cm को प्रतिस्थापित करने पर, हमें A=4π(8)2=256πcm2 मिलता है।