अब, हम केंद्रक के प्रत्येक निर्देशांक के लिए अलग-अलग समीकरणों को हल करते हैं। x -निर्देशांक के लिए, 1 = (2 + x_3)/(3) से x_3 = 1 मिलता है। y -निर्देशांक के लिए, 1 = (2 + y_3)/(3) से y_3 = 1 मिलता है। z -निर्देशांक के लिए, 1 = (1 + z_3)/(3) से z_3 = 2 मिलता है।

अब, हम केंद्रक के प्रत्येक निर्देशांक के लिए अलग-अलग समीकरणों को हल करते हैं। x -निर्देशांक के लिए, 1 = (2 + x_3)/(3) से x_3 = 1 मिलता है। y -निर्देशांक के लिए, 1 = (2 + y_3)/(3) से y_3 = 1 मिलता है। z -निर्देशांक के लिए, 1 = (1 + z_3)/(3) से z_3 = 2 मिलता है।

एक त्रिभुज ABC का केंद्रक (1, 1, 1) है। यदि A और B के निर्देशांक क्रमशः $(3, -5, 7)$ व $(-1, 7, -6)$ हैं। बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

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Step-by-Step Solution

Step 1: केंद्रक के सूत्र को परिभाषित करें

त्रिभुज के केंद्रक के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम त्रिभुज के शीर्षों के $x$ , $y$ , और $z$ निर्देशांकों का औसत लेते हैं। यहाँ $G$ केंद्रक है, और $(x_1, y_1, z_1)$ , $(x_2, y_2, z_2)$ , और $(x_3, y_3, z_3)$ त्रिभुज के तीन शीर्षों के निर्देशांक हैं।

Step 2: दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करें

हमें केंद्रक $G = (1, 1, 1)$ और दो शीर्षों $A = (3, -5, 7)$ और $B = (-1, 7, -6)$ के निर्देशांक दिए गए हैं। हम इन मानों को केंद्रक के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं, जहाँ $C = (x_3, y_3, z_3)$ अज्ञात शीर्ष है।

Step 3: प्रत्येक निर्देशांक के लिए समीकरणों को हल करें

अब, हम केंद्रक के प्रत्येक निर्देशांक के लिए अलग-अलग समीकरणों को हल करते हैं। $x$ -निर्देशांक के लिए, $1 = \frac{2 + x_3}{3}$ से $x_3 = 1$ मिलता है। $y$ -निर्देशांक के लिए, $1 = \frac{2 + y_3}{3}$ से $y_3 = 1$ मिलता है। $z$ -निर्देशांक के लिए, $1 = \frac{1 + z_3}{3}$ से $z_3 = 2$ मिलता है।

Step 4: बिंदु C के निर्देशांक ज्ञात करें

समीकरणों को हल करने के बाद, हमें बिंदु $C$ के निर्देशांक $(x_3, y_3, z_3)$ के रूप में $(1, 1, 2)$ प्राप्त होते हैं।