एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tanA=1 तो सत्यापित कीजिए कि 2sinAcosA=1 ।
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Step-by-Step Solution
Step 1: समकोण त्रिभुज का निर्माण
हम एक समकोण त्रिभुज △ABC की कल्पना करते हैं, जहाँ कोण B एक समकोण है। हम इसे अपने समस्या के आधार के रूप में लेंगे।
Step 2: tan A का उपयोग करके भुजाओं का अनुपात ज्ञात करना
हमें दिया गया है कि tanA=1 । त्रिकोणमिति में, tanA कोण A के सम्मुख भुजा (BC) और संलग्न भुजा (AB) का अनुपात होता है। इसलिए, ABBC=1 ।
Step 3: त्रिभुज की भुजाओं का मान ज्ञात करना
चूंकि ABBC=1, इसका अर्थ है कि BC=AB । हम AB=BC=k मान लेते हैं, जहाँ k एक धनात्मक संख्या है।
Step 4: पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके कर्ण ज्ञात करना
समकोण त्रिभुज △ABC में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण AC की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। AC2=AB2+BC2 । मान रखने पर, हमें AC=k2 प्राप्त होता है।
Step 5: sin A और cos A का मान ज्ञात करना
अब जब हमारे पास त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई है, तो हम sinA और cosA के मान ज्ञात कर सकते हैं। sinA सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात है, और cosA संलग्न भुजा और कर्ण का अनुपात है।
Step 6: 2sinAcosA=1 की पुष्टि करना
हमने sinA=21 और cosA=21 के मान ज्ञात किए हैं। अब हम इन मानों को 2sinAcosA में प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर हमें यह 1 के बराबर मिलता है, जो दिए गए समीकरण की पुष्टि करता है।