एक समकोण त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि $\tan A = 1$ तो सत्यापित कीजिए कि $2 \sin A \cos A = 1$ ।

Step 1: समकोण त्रिभुज का निर्माण

हम एक समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ की कल्पना करते हैं, जहाँ कोण $B$ एक समकोण है। हम इसे अपने समस्या के आधार के रूप में लेंगे।

Step 2: tan A का उपयोग करके भुजाओं का अनुपात ज्ञात करना

हमें दिया गया है कि $\tan A = 1$ । त्रिकोणमिति में, $\tan A$ कोण $A$ के सम्मुख भुजा (BC) और संलग्न भुजा (AB) का अनुपात होता है। इसलिए, $\frac{BC}{AB} = 1$ ।

Step 3: त्रिभुज की भुजाओं का मान ज्ञात करना

चूंकि $\frac{BC}{AB} = 1$, इसका अर्थ है कि $BC = AB$ । हम $AB = BC = k$ मान लेते हैं, जहाँ $k$ एक धनात्मक संख्या है।

Step 4: पाइथागोरस प्रमेय का प्रयोग करके कर्ण ज्ञात करना

समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में, हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके कर्ण $AC$ की लंबाई ज्ञात कर सकते हैं। $AC^2 = AB^2 + BC^2$ । मान रखने पर, हमें $AC = k\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

Step 5: sin A और cos A का मान ज्ञात करना

अब जब हमारे पास त्रिभुज की सभी भुजाओं की लंबाई है, तो हम $\sin A$ और $\cos A$ के मान ज्ञात कर सकते हैं। $\sin A$ सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात है, और $\cos A$ संलग्न भुजा और कर्ण का अनुपात है।

Step 6: $2\sin A \cos A = 1$ की पुष्टि करना

हमने $\sin A = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\cos A = \frac{1}{\sqrt{2}}$ के मान ज्ञात किए हैं। अब हम इन मानों को $2 \sin A \cos A$ में प्रतिस्थापित करते हैं। गणना करने पर हमें यह $1$ के बराबर मिलता है, जो दिए गए समीकरण की पुष्टि करता है।

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