यदि $\angle B$ और $\angle Q$ ऐसे न्यूनकोण हों जिससे कि $\sin B = \sin Q$, तो सिद्ध कीजिए कि $\angle B = \angle Q$ ।

Step 1: दो त्रिभुजों की कल्पना करें

मान लीजिए दो समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ हैं, जहाँ $\angle B$ और $\angle Q$ न्यूनकोण हैं। $\triangle ABC$ में $\angle C$ पर समकोण है और $\triangle PQR$ में $\angle R$ पर समकोण है।

Step 2: साइन अनुपात लिखिए

समकोण त्रिभुज में, किसी न्यूनकोण का साइन (sine) सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात होता है। इसलिए, $\triangle ABC$ में $\sin B = \frac{AC}{AB}$ और $\triangle PQR$ में $\sin Q = \frac{PR}{PQ}$ ।

Step 3: दी गई शर्त का उपयोग करें

प्रश्नानुसार, $\sin B = \sin Q$ दिया गया है। इस समीकरण में पिछले चरण के साइन अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर हमें $\frac{AC}{AB} = \frac{PR}{PQ}$ प्राप्त होता है।

Step 4: अनुपातों को पुनर्व्यवस्थित करें

हम इस अनुपात को $k$ के बराबर मानकर पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। इससे हमें यह पता चलता है कि त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपात में हैं।

Step 5: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें

समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए, $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2}$ और $QR = \sqrt{PQ^2 - PR^2}$ ।

Step 6: $BC$ और $QR$ का अनुपात ज्ञात करें

अब हम $BC$ और $QR$ का अनुपात ज्ञात करते हैं। चूंकि $AB = kPQ$ और $AC = kPR$ है, हम इन मानों को $BC$ के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और सरल करने पर $k$ प्राप्त होता है।

Step 7: त्रिभुजों की समरूपता स्थापित करें

हमने दिखाया है कि तीनों संगत भुजाओं का अनुपात समान है: $\frac{AC}{PR} = \frac{AB}{PQ} = \frac{BC}{QR} = k$ । अतः, भुजा-भुजा-भुजा (SSS) समरूपता मानदंड से $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ ।

Step 8: निष्कर्ष निकालें

क्योंकि त्रिभुज $\triangle ABC$ और $\triangle PQR$ समरूप हैं, उनके संगत कोण भी बराबर होंगे। इसलिए, $\angle B = \angle Q$ ।

More from this chapter

• **EXERCISE 8.3** **1.** Express the trigonometric ratios sin A, tan A and sec A in terms of cot A.
• Cos A / 1 + sin a + 1 + sin a / cos A is equal to 2 sec a
• write all the other trigonometric ratios of angle A in terms of sec A
• Express all the trigonometric ratios in terms of Sin A
• Express the trigonometric ratio sign a sec a tan a in terms of cot a
• Prove that √(sec² A + csc² A) = tan A + cot A
• (secθ - tanθ) = (1)/(m) --- (2) Adding (1) & (2) secθ + tanθ + secθ - tanθ = (1)/(m) + (m)/(1) 2secθ = (1 + m²)/(m) secθ = (1 + m²)/(2m) (Hence proved) 2) If as
• If tanθ + secθ = m, prove that secθ = (m² + 1)/(2m).

All Introduction to Trigonometry solutions →