यदि ∠B और ∠Q ऐसे न्यूनकोण हों जिससे कि sinB=sinQ, तो सिद्ध कीजिए कि ∠B=∠Q ।
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Step-by-Step Solution
Step 1: दो त्रिभुजों की कल्पना करें
मान लीजिए दो समकोण त्रिभुज △ABC और △PQR हैं, जहाँ ∠B और ∠Q न्यूनकोण हैं। △ABC में ∠C पर समकोण है और △PQR में ∠R पर समकोण है।
Step 2: साइन अनुपात लिखिए
समकोण त्रिभुज में, किसी न्यूनकोण का साइन (sine) सम्मुख भुजा और कर्ण का अनुपात होता है। इसलिए, △ABC में sinB=ABAC और △PQR में sinQ=PQPR ।
Step 3: दी गई शर्त का उपयोग करें
प्रश्नानुसार, sinB=sinQ दिया गया है। इस समीकरण में पिछले चरण के साइन अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर हमें ABAC=PQPR प्राप्त होता है।
Step 4: अनुपातों को पुनर्व्यवस्थित करें
हम इस अनुपात को k के बराबर मानकर पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। इससे हमें यह पता चलता है कि त्रिभुजों की भुजाएँ समानुपात में हैं।
Step 5: पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें
समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए, BC=AB2−AC2 और QR=PQ2−PR2 ।
Step 6: BC और QR का अनुपात ज्ञात करें
अब हम BC और QR का अनुपात ज्ञात करते हैं। चूंकि AB=kPQ और AC=kPR है, हम इन मानों को BC के सूत्र में प्रतिस्थापित कर सकते हैं और सरल करने पर k प्राप्त होता है।
Step 7: त्रिभुजों की समरूपता स्थापित करें
हमने दिखाया है कि तीनों संगत भुजाओं का अनुपात समान है: PRAC=PQAB=QRBC=k । अतः, भुजा-भुजा-भुजा (SSS) समरूपता मानदंड से △ABC∼△PQR ।
Step 8: निष्कर्ष निकालें
क्योंकि त्रिभुज △ABC और △PQR समरूप हैं, उनके संगत कोण भी बराबर होंगे। इसलिए, ∠B=∠Q ।