प्रसरण की गणना के लिए, हम सूत्र ² = [(Σ f_i d_i²)/(N) - ((Σ f_i d_i)/(N))²] × h² का उपयोग करते हैं। सारणी से प्राप्त Σ f_i d_i², Σ f_i d_i, N और h के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्रसरण को 201 के रूप में प्राप्त करते हैं।

प्रसरण की गणना के लिए, हम सूत्र ² = [(Σ f_i d_i²)/(N) - ((Σ f_i d_i)/(N))²] × h² का उपयोग करते हैं। सारणी से प्राप्त Σ f_i d_i², Σ f_i d_i, N और h के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्रसरण को 201 के रूप में प्राप्त करते हैं।

मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है। प्रसरण का मान 201 है, इसलिए मानक विचलन √201 होगा। इसका अनुमानित मान 14.177 है।

मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है। प्रसरण का मान 201 है, इसलिए मानक विचलन √201 होगा। इसका अनुमानित मान 14.177 है।

Calculate mean, variance and standard deviation for the following distribution: Classes: 30-40, 40-50, 50-60, 60-70, 70-80, 80-90, 90-100; Frequencies: 3, 7, 12, 15, 8, 3, 2.

Answer: माध्य (Mean) $= 62$ , प्रसरण (Variance) $= 201$ , मानक विचलन (Standard Deviation) $\approx 14.177$

Step-by-step solution

Step 1: वर्ग अंतराल और बारंबारता सारणी बनाना

सबसे पहले, हम दिए गए वर्ग अंतरालों और उनकी बारंबारताओं का उपयोग करके एक सारणी बनाते हैं। हम प्रत्येक वर्ग अंतराल के लिए वर्ग चिह्न ( $x_i$ ) ज्ञात करते हैं, जो वर्ग अंतराल की ऊपरी और निचली सीमा का औसत होता है। फिर, हम कल्पित माध्य ( $A$ ) और वर्ग माप ( $h$ ) का उपयोग करके $d_i = \frac{x_i - A}{h}$ की गणना करते हैं। यहाँ, हमने $A=65$ और $h=10$ लिया है। इसके बाद, हम $f_i d_i$ और $f_i d_i^2$ की गणना करते हैं और उनके योग ज्ञात करते हैं।

Step 2: माध्य की गणना

माध्य की गणना के लिए, हम पद विचलन विधि का उपयोग करते हैं। सूत्र $\bar{x} = A + \frac{\sum f_i d_i}{N} \times h$ है, जहाँ $A$ कल्पित माध्य, $\sum f_i d_i$ बारंबारता और $d_i$ के गुणनफल का योग, $N$ कुल बारंबारता और $h$ वर्ग माप है। सारणी से प्राप्त मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर हमें माध्य 62 प्राप्त होता है।

Step 3: प्रसरण की गणना

प्रसरण की गणना के लिए, हम सूत्र $\sigma^2 = \left[\frac{\sum f_i d_i^2}{N} - \left(\frac{\sum f_i d_i}{N}\right)^2\right] \times h^2$ का उपयोग करते हैं। सारणी से प्राप्त $\sum f_i d_i^2$ , $\sum f_i d_i$ , $N$ और $h$ के मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्रसरण को 201 के रूप में प्राप्त करते हैं।

Step 4: मानक विचलन की गणना

मानक विचलन प्रसरण का वर्गमूल होता है। प्रसरण का मान 201 है, इसलिए मानक विचलन $\sqrt{201}$ होगा। इसका अनुमानित मान 14.177 है।

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