Consider the equation x2+4x - n=0 where n ∈[20,100] is a natural number. Then the number of all distinct values of n, for which the given equation has integral roots, is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: पूर्णांक मूलों की शर्त
एक द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0 के पूर्णांक मूल होने के लिए, विविक्तकर (discriminant) D=b2−4ac एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। दिए गए समीकरण x2+4x−n=0 में, a=1, b=4, और c=−n है।
Step 2: विविक्तकर की गणना
दिए गए समीकरण के लिए विविक्तकर की गणना करने पर, हमें D=16+4n प्राप्त होता है। पूर्णांक मूलों के लिए, 16+4n एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। मान लीजिए 16+4n=k2, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।
Step 3: n के लिए समीकरण हल करना
चूंकि 4(4+n) एक पूर्ण वर्ग है, इसका मतलब है कि k एक सम संख्या होनी चाहिए। मान लीजिए k=2m, जहाँ m एक धनात्मक पूर्णांक है। तब 4+n=(2m/2)2=m2 होगा। इससे हमें n=m2−4 प्राप्त होता है।
Step 4: n के मानों की सीमा
हमें दिया गया है कि n का मान 20 और 100 के बीच है। इस शर्त को m2−4 पर लागू करने पर, हमें 20≤m2−4≤100 प्राप्त होता है।
Step 5: m के संभावित मान ज्ञात करना
असमानता को हल करने पर, हमें 24≤m2≤104 मिलता है। m एक पूर्णांक है, इसलिए m के संभावित मान 5,6,7,8,9,10 हैं। ये सभी मान n के भिन्न मान उत्पन्न करेंगे।
Step 6: n के भिन्न मानों की संख्या
m के प्रत्येक मान के लिए n का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है। m के 5,6,7,8,9,10 मानों के लिए, n के संगत मान 21,32,45,60,77,96 हैं। ये सभी मान 20 और 100 की सीमा के भीतर हैं। इसलिए, n के भिन्न मानों की कुल संख्या 6 है।