Consider the equation x2+4x−n=0x^2 + 4x - n = 0 where n ∈[20,100]\in [20{,}100] is a natural number. Then the number of all distinct values of n, for which the given equation has integral roots, is equal to:

Answer: 6

Step-by-step solution

Step 1: पूर्णांक मूलों की शर्त

एक द्विघात समीकरण ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 के पूर्णांक मूल होने के लिए, विविक्तकर (discriminant) D=b2−4acD = b^2 - 4ac एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। दिए गए समीकरण x2+4x−n=0x^2 + 4x - n = 0 में, a=1a=1, b=4b=4, और c=−nc=-n है।

Step 2: विविक्तकर की गणना

दिए गए समीकरण के लिए विविक्तकर की गणना करने पर, हमें D=16+4nD = 16 + 4n प्राप्त होता है। पूर्णांक मूलों के लिए, 16+4n16 + 4n एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए। मान लीजिए 16+4n=k216 + 4n = k^2, जहाँ kk एक धनात्मक पूर्णांक है।

Step 3: nn के लिए समीकरण हल करना

चूंकि 4(4+n)4(4+n) एक पूर्ण वर्ग है, इसका मतलब है कि kk एक सम संख्या होनी चाहिए। मान लीजिए k=2mk = 2m, जहाँ mm एक धनात्मक पूर्णांक है। तब 4+n=(2m/2)2=m24+n = (2m/2)^2 = m^2 होगा। इससे हमें n=m2−4n = m^2 - 4 प्राप्त होता है।

Step 4: nn के मानों की सीमा

हमें दिया गया है कि nn का मान 2020 और 100100 के बीच है। इस शर्त को m2−4m^2 - 4 पर लागू करने पर, हमें 20≤m2−4≤10020 \le m^2 - 4 \le 100 प्राप्त होता है।

Step 5: mm के संभावित मान ज्ञात करना

असमानता को हल करने पर, हमें 24≤m2≤10424 \le m^2 \le 104 मिलता है। mm एक पूर्णांक है, इसलिए mm के संभावित मान 5,6,7,8,9,105, 6, 7, 8, 9, 10 हैं। ये सभी मान nn के भिन्न मान उत्पन्न करेंगे।

Step 6: nn के भिन्न मानों की संख्या

mm के प्रत्येक मान के लिए nn का एक अद्वितीय मान प्राप्त होता है। mm के 5,6,7,8,9,105, 6, 7, 8, 9, 10 मानों के लिए, nn के संगत मान 21,32,45,60,77,9621, 32, 45, 60, 77, 96 हैं। ये सभी मान 2020 और 100100 की सीमा के भीतर हैं। इसलिए, nn के भिन्न मानों की कुल संख्या 66 है।

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