Consider the hyperbola a2x2−b2y2=1 having one of its foci at P=(−3,0). If the latus rectum through its other focus subtends a right angle at P and a2b2=α2−β, α,β∈N, then
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Step-by-Step Solution
Step 1: अतिपरवलय के फोकस और उत्केंद्रता को परिभाषित करें
दिए गए अतिपरवलय a2x2−b2y2=1 के फोकस (±ae,0) होते हैं, जहाँ a और b अतिपरवलय के अर्ध-अक्ष हैं, और e उत्केंद्रता है। उत्केंद्रता का सूत्र e=1+a2b2 है, जिससे b2=a2(e2−1) प्राप्त होता है।
Step 2: फोकस और लंबवत जीवा के निर्देशांक ज्ञात करें
हमें दिया गया है कि एक फोकस P=(−3,0) है। इसलिए, −ae=−3, जिसका अर्थ है ae=3 । दूसरा फोकस F′=(ae,0)=(3,0) होगा। दूसरे फोकस F′ से गुजरने वाली लंबवत जीवा के सिरे L=(ae,ab2) और L′=(ae,−ab2) हैं।
Step 3: लंबवत जीवा द्वारा P पर अंतरित समकोण की शर्त लागू करें
चूंकि लंबवत जीवा P पर समकोण अंतरित करती है, इसलिए PL और PL′ की ढलानों का गुणनफल −1 के बराबर होगा। P=(−ae,0), L=(ae,ab2) और L′=(ae,−ab2) का उपयोग करके, हम ढलानों की गणना करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।
Step 4: a और b के मान ज्ञात करें
ढलानों के गुणनफल से प्राप्त समीकरण b4=4a4e2 को सरल करने पर b2=2a2e प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि b2=a2(e2−1) । इन दोनों समीकरणों को बराबर करने पर e2−2e−1=0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके e के लिए हल करने पर e=1+2 (चूंकि e>1)। फिर ae=3 का उपयोग करके a और a2 की गणना करें। अंत में, b2=2a2e का उपयोग करके b2 की गणना करें।
Step 5: a2b2 का मान ज्ञात करें
अब हम a2 और b2 के मानों को गुणा करके a2b2 का मान ज्ञात करते हैं।
Step 6: α और β के मान ज्ञात करें
दिए गए समीकरण a2b2=α2−β से तुलना करने पर, हमें α=810 और β=1134 प्राप्त होता है।