चूंकि लंबवत जीवा P पर समकोण अंतरित करती है, इसलिए PL और PL' की ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर होगा। P = (-ae, 0), L = (ae, (b²)/(a)) और L' = (ae, -(b²)/(a)) का उपयोग करके, हम ढलानों की गणना करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।

चूंकि लंबवत जीवा P पर समकोण अंतरित करती है, इसलिए PL और PL' की ढलानों का गुणनफल -1 के बराबर होगा। P = (-ae, 0), L = (ae, (b²)/(a)) और L' = (ae, -(b²)/(a)) का उपयोग करके, हम ढलानों की गणना करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।

ढलानों के गुणनफल से प्राप्त समीकरण b^4 = 4a^4e² को सरल करने पर b² = 2a²e प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि b² = a²(e² - 1)। इन दोनों समीकरणों को बराबर करने पर e² - 2e - 1 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके e के लिए हल करने पर e = 1 + √2 (चूंकि e > 1)। फिर ae = 3 का उपयोग करके a और a² की गणना करें। अंत में, b² = 2a²e का उपयोग करके b² की गणना करें।

ढलानों के गुणनफल से प्राप्त समीकरण b^4 = 4a^4e² को सरल करने पर b² = 2a²e प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि b² = a²(e² - 1)। इन दोनों समीकरणों को बराबर करने पर e² - 2e - 1 = 0 प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके e के लिए हल करने पर e = 1 + √2 (चूंकि e > 1)। फिर ae = 3 का उपयोग करके a और a² की गणना करें। अंत में, b² = 2a²e का उपयोग करके b² की गणना करें।

अब हम a² और b² के मानों को गुणा करके a² b² का मान ज्ञात करते हैं।

दिए गए समीकरण a² b² = α √2 - β से तुलना करने पर, हमें α = 810 और β = 1134 प्राप्त होता है।

Consider the hyperbola $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ having one of its foci at $P = (-3, 0)$ . If the latus rectum through its other focus subtends a right angle at P and $a^2 b^2 = \alpha \sqrt{2} - \beta$ , $\alpha, \beta \in \mathbb{N}$ , then

Answer: $\alpha = 810, \beta = 1134$

Step-by-step solution

Step 1: अतिपरवलय के फोकस और उत्केंद्रता को परिभाषित करें

दिए गए अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ के फोकस $(\pm ae, 0)$ होते हैं, जहाँ $a$ और $b$ अतिपरवलय के अर्ध-अक्ष हैं, और $e$ उत्केंद्रता है। उत्केंद्रता का सूत्र $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$ है, जिससे $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ प्राप्त होता है।

Step 2: फोकस और लंबवत जीवा के निर्देशांक ज्ञात करें

हमें दिया गया है कि एक फोकस $P = (-3, 0)$ है। इसलिए, $-ae = -3$ , जिसका अर्थ है $ae = 3$ । दूसरा फोकस $F' = (ae, 0) = (3, 0)$ होगा। दूसरे फोकस $F'$ से गुजरने वाली लंबवत जीवा के सिरे $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ और $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ हैं।

Step 3: लंबवत जीवा द्वारा P पर अंतरित समकोण की शर्त लागू करें

चूंकि लंबवत जीवा $P$ पर समकोण अंतरित करती है, इसलिए $PL$ और $PL'$ की ढलानों का गुणनफल $-1$ के बराबर होगा। $P = (-ae, 0)$ , $L = (ae, \frac{b^2}{a})$ और $L' = (ae, -\frac{b^2}{a})$ का उपयोग करके, हम ढलानों की गणना करते हैं और उन्हें गुणा करते हैं।

Step 4: a और b के मान ज्ञात करें

ढलानों के गुणनफल से प्राप्त समीकरण $b^4 = 4a^4e^2$ को सरल करने पर $b^2 = 2a^2e$ प्राप्त होता है। हम जानते हैं कि $b^2 = a^2(e^2 - 1)$ । इन दोनों समीकरणों को बराबर करने पर $e^2 - 2e - 1 = 0$ प्राप्त होता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करके $e$ के लिए हल करने पर $e = 1 + \sqrt{2}$ (चूंकि $e > 1$ )। फिर $ae = 3$ का उपयोग करके $a$ और $a^2$ की गणना करें। अंत में, $b^2 = 2a^2e$ का उपयोग करके $b^2$ की गणना करें।

Step 5: $a^2 b^2$ का मान ज्ञात करें

अब हम $a^2$ और $b^2$ के मानों को गुणा करके $a^2 b^2$ का मान ज्ञात करते हैं।

Step 6: $\alpha$ और $\beta$ के मान ज्ञात करें

दिए गए समीकरण $a^2 b^2 = \alpha \sqrt{2} - \beta$ से तुलना करने पर, हमें $\alpha = 810$ और $\beta = 1134$ प्राप्त होता है।

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