Consider the lines L1:x−1=y−2=z and L2:x−2=y−2=z−1. Let the feet of the perpendiculars from the point P(5,1,−3) on the lines L1 and L2 be Q and R respectively. If the area of the triangle PQR is A, then 4A2 is equal to:
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Step-by-Step Solution
Step 1: रेखाओं L1 और L2 के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में लिखें
सबसे पहले, हम दी गई रेखाओं L1 और L2 के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में लिखते हैं। इससे हमें रेखाओं पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक λ और μ के पदों में प्राप्त होते हैं। बिंदु Q रेखा L1 पर है और बिंदु R रेखा L2 पर है।
Step 2: Q और R के निर्देशांक ज्ञात करें
चूंकि Q और R क्रमशः P से L1 और L2 पर डाले गए लंबों के पाद हैं, इसलिए PQ रेखा L1 के दिशा सदिश d1 के लंबवत होगा, और PR रेखा L2 के दिशा सदिश d2 के लंबवत होगा। हम इस लंबवत स्थिति का उपयोग करके λ और μ के मान ज्ञात करते हैं, और फिर Q और R के निर्देशांक प्राप्त करते हैं।
Step 3: सदिश PQ और PR ज्ञात करें
अब जब हमारे पास P, Q, और R के निर्देशांक हैं, तो हम त्रिभुज PQR के दो भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश PQ और PR की गणना करते हैं।
Step 4: त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात करें
त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल A सदिश PQ और PR के क्रॉस उत्पाद के परिमाण का आधा होता है। हम क्रॉस उत्पाद की गणना करते हैं और फिर उसका परिमाण ज्ञात करते हैं।
Step 5: 4A2 का मान ज्ञात करें
अंत में, हम A के मान का उपयोग करके 4A2 का मान ज्ञात करते हैं।