Consider the lines L1:x−1=y−2=zL_1: x - 1 = y - 2 = z and L2:x−2=y−2=z−1L_2: x - 2 = y - 2 = z - 1. Let the feet of the perpendiculars from the point P(5,1,−3)P(5{,}1,-3) on the lines L1L_1 and L2L_2 be QQ and RR respectively. If the area of the triangle PQRPQR is AA, then 4A24A^2 is equal to:

Answer: 493\frac{49}{3}

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं L1 और L2 के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में लिखें

सबसे पहले, हम दी गई रेखाओं L1L_1 और L2L_2 के समीकरणों को पैरामीट्रिक रूप में लिखते हैं। इससे हमें रेखाओं पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक λ\lambda और μ\mu के पदों में प्राप्त होते हैं। बिंदु QQ रेखा L1L_1 पर है और बिंदु RR रेखा L2L_2 पर है।

Step 2: Q और R के निर्देशांक ज्ञात करें

चूंकि QQ और RR क्रमशः PP से L1L_1 और L2L_2 पर डाले गए लंबों के पाद हैं, इसलिए PQ⃗\vec{PQ} रेखा L1L_1 के दिशा सदिश d⃗1\vec{d}_{1} के लंबवत होगा, और PR⃗\vec{PR} रेखा L2L_2 के दिशा सदिश d⃗2\vec{d}_{2} के लंबवत होगा। हम इस लंबवत स्थिति का उपयोग करके λ\lambda और μ\mu के मान ज्ञात करते हैं, और फिर QQ और RR के निर्देशांक प्राप्त करते हैं।

Step 3: सदिश PQ और PR ज्ञात करें

अब जब हमारे पास PP, QQ, और RR के निर्देशांक हैं, तो हम त्रिभुज PQRPQR के दो भुजाओं को दर्शाने वाले सदिश PQ⃗\vec{PQ} और PR⃗\vec{PR} की गणना करते हैं।

Step 4: त्रिभुज PQR का क्षेत्रफल ज्ञात करें

त्रिभुज PQRPQR का क्षेत्रफल AA सदिश PQ⃗\vec{PQ} और PR⃗\vec{PR} के क्रॉस उत्पाद के परिमाण का आधा होता है। हम क्रॉस उत्पाद की गणना करते हैं और फिर उसका परिमाण ज्ञात करते हैं।

Step 5: 4A24A^2 का मान ज्ञात करें

अंत में, हम AA के मान का उपयोग करके 4A24A^2 का मान ज्ञात करते हैं।

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