अब हमें बिंदु (3,6) से रेखा L (x+2y-5=0) की दूरी d ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, d = (|Ax_1+By_1+C|)/(√(A²+B²)) जहाँ A=1, B=2, C=-5, x_1=3, y_1=6 है। गणना करने पर, हमें d = (10)/(√5) मिलता है।

अब हमें बिंदु (3,6) से रेखा L (x+2y-5=0) की दूरी d ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, d = (|Ax_1+By_1+C|)/(√(A²+B²)) जहाँ A=1, B=2, C=-5, x_1=3, y_1=6 है। गणना करने पर, हमें d = (10)/(√5) मिलता है।

अंत में, हम d² का मान ज्ञात करते हैं। d = (10)/(√5) को वर्ग करने पर, हमें d² = (100)/(5) = 20 मिलता है।

अंत में, हम d² का मान ज्ञात करते हैं। d = (10)/(√5) को वर्ग करने पर, हमें d² = (100)/(5) = 20 मिलता है।

Consider the lines $x(3\lambda+1)+y(7\lambda+2)=17\lambda+5$ , $\lambda$ being a parameter, all passing through a point $P$ . One of these lines (say $L$ ) is farthest from the origin. If the distance of $L$ from the point $(3{,}6)$ is $d$ , then the value of $d^2$ is:

Answer: $d^2 = 20$

Step-by-step solution

Step 1: रेखाओं के परिवार का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना

दी गई रेखाओं के परिवार के समीकरण को $\lambda$ के पदों में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह समीकरण $L_1 + \lambda L_2 = 0$ के रूप में है, जो दो रेखाओं $L_1=0$ और $L_2=0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार को दर्शाता है। इन दो रेखाओं को हल करके हम प्रतिच्छेदन बिंदु $P$ ज्ञात कर सकते हैं।

Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु P ज्ञात करना

अब हम दो समीकरणों $x+2y=5$ और $3x+7y=17$ को हल करते हैं। समीकरण (1) को 3 से गुणा करके और फिर समीकरण (2) से घटाकर, हमें $y=2$ मिलता है। $y$ के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें $x=1$ मिलता है। इस प्रकार, सभी रेखाएँ बिंदु $P(1{,}2)$ से होकर गुजरती हैं।

Step 3: मूल बिंदु से सबसे दूर की रेखा L ज्ञात करना

मूल बिंदु से सबसे दूर की रेखा $L$ वह रेखा होती है जो बिंदु $P$ से होकर गुजरती है और $OP$ (जहाँ $O$ मूल बिंदु है) के लंबवत होती है। $OP$ की ढाल 2 है, इसलिए रेखा $L$ की ढाल $-1/2$ होगी। बिंदु $P(1{,}2)$ और ढाल $-1/2$ का उपयोग करके, हम रेखा $L$ का समीकरण $x+2y-5=0$ प्राप्त करते हैं।

Step 4: बिंदु (3,6) से रेखा L की दूरी d ज्ञात करना

अब हमें बिंदु $(3{,}6)$ से रेखा $L$ ( $x+2y-5=0$ ) की दूरी $d$ ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, $d = \frac{|Ax_1+By_1+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ जहाँ $A=1, B=2, C=-5, x_1=3, y_1=6$ है। गणना करने पर, हमें $d = \frac{10}{\sqrt{5}}$ मिलता है।

Step 5: $d^2$ का मान ज्ञात करना

अंत में, हम $d^2$ का मान ज्ञात करते हैं। $d = \frac{10}{\sqrt{5}}$ को वर्ग करने पर, हमें $d^2 = \frac{100}{5} = 20$ मिलता है।

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