Consider the lines x(3λ+1)+y(7λ+2)=17λ+5, λ being a parameter, all passing through a point P. One of these lines (say L) is farthest from the origin. If the distance of L from the point (3,6) is d, then the value of d2 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: रेखाओं के परिवार का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करना
दी गई रेखाओं के परिवार के समीकरण को λ के पदों में पुनर्व्यवस्थित करते हैं। यह समीकरण L1+λL2=0 के रूप में है, जो दो रेखाओं L1=0 और L2=0 के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार को दर्शाता है। इन दो रेखाओं को हल करके हम प्रतिच्छेदन बिंदु P ज्ञात कर सकते हैं।
Step 2: प्रतिच्छेदन बिंदु P ज्ञात करना
अब हम दो समीकरणों x+2y=5 और 3x+7y=17 को हल करते हैं। समीकरण (1) को 3 से गुणा करके और फिर समीकरण (2) से घटाकर, हमें y=2 मिलता है। y के इस मान को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें x=1 मिलता है। इस प्रकार, सभी रेखाएँ बिंदु P(1,2) से होकर गुजरती हैं।
Step 3: मूल बिंदु से सबसे दूर की रेखा L ज्ञात करना
मूल बिंदु से सबसे दूर की रेखा L वह रेखा होती है जो बिंदु P से होकर गुजरती है और OP (जहाँ O मूल बिंदु है) के लंबवत होती है। OP की ढाल 2 है, इसलिए रेखा L की ढाल −1/2 होगी। बिंदु P(1,2) और ढाल −1/2 का उपयोग करके, हम रेखा L का समीकरण x+2y−5=0 प्राप्त करते हैं।
Step 4: बिंदु (3,6) से रेखा L की दूरी d ज्ञात करना
अब हमें बिंदु (3,6) से रेखा L (x+2y−5=0) की दूरी d ज्ञात करनी है। दूरी सूत्र का उपयोग करके, d=A2+B2∣Ax1+By1+C∣ जहाँ A=1,B=2,C=−5,x1=3,y1=6 है। गणना करने पर, हमें d=510 मिलता है।
Step 5: d2 का मान ज्ञात करना
अंत में, हम d2 का मान ज्ञात करते हैं। d=510 को वर्ग करने पर, हमें d2=5100=20 मिलता है।