Consider the region R={(x,y):x≤y≤9−311x2,x≥0}. The area, of the largest rectangle of sides parallel to the coordinate axes and inscribed in R, is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: क्षेत्र को समझना और आयत का क्षेत्रफल निर्धारित करना
हमें उस क्षेत्र R पर विचार करना है जो असमानताओं x≤y≤9−311x2 और x≥0 द्वारा परिभाषित है। हमें इस क्षेत्र में अंकित एक आयत का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करना है, जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं।
आयत के शीर्ष (0,0), (x,0), (x,y) और (0,y) होंगे। चूंकि x≥0 और y≥x, आयत का एक शीर्ष (x,y) वक्र y=9−311x2 पर स्थित होगा।
आयत का क्षेत्रफल A=x⋅y होगा।
Step 2: क्षेत्रफल को एक चर के फलन के रूप में व्यक्त करना
चूंकि आयत का शीर्ष (x,y) वक्र y=9−311x2 पर स्थित है, हम y को x के पदों में प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
इससे आयत का क्षेत्रफल A(x)=x(9−311x2) हो जाता है।
इसे सरल करने पर हमें A(x)=9x−311x3 मिलता है।
Step 3: अधिकतम क्षेत्रफल के लिए अवकलज ज्ञात करना
अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें A(x) का x के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करना होगा और उसे शून्य के बराबर सेट करना होगा।
A(x)=9x−311x3 का अवकलज dxdA=9−311(3x2)=9−11x2 है।
Step 4: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करना
अधिकतम या न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए, हम dxdA को शून्य के बराबर सेट करते हैं।
9−11x2=0⟹11x2=9⟹x2=119 ।
चूंकि x≥0, हम x=119=113 लेते हैं।
Step 5: अधिकतम क्षेत्रफल की पुष्टि करना
यह पुष्टि करने के लिए कि यह एक अधिकतम है, हम दूसरा अवकलज ज्ञात करते हैं।
dx2d2A=dxd(9−11x2)=−22x ।
चूंकि x=113>0, dx2d2A=−22(113)<0 ।
दूसरा अवकलज ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि x=113 पर क्षेत्रफल अधिकतम है।
Step 6: अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करना
अब हम x=113 के मान को क्षेत्रफल फलन A(x)=9x−311x3 में प्रतिस्थापित करते हैं।
A(113)=9(113)−311(113)3 =1127−311(111127) =1127−119 =1118