अधिकतम या न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए, हम (dA)/(dx) को शून्य के बराबर सेट करते हैं। 9 - 11x² = 0 ⇒ 11x² = 9 ⇒ x² = (9)/(11)। चूंकि x ≥ 0, हम x = √((9)/(11)) = (3)/(√11) लेते हैं।

अधिकतम या न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए, हम (dA)/(dx) को शून्य के बराबर सेट करते हैं। 9 - 11x² = 0 ⇒ 11x² = 9 ⇒ x² = (9)/(11)। चूंकि x ≥ 0, हम x = √((9)/(11)) = (3)/(√11) लेते हैं।

यह पुष्टि करने के लिए कि यह एक अधिकतम है, हम दूसरा अवकलज ज्ञात करते हैं। (d²A)/(dx²) = (d)/(dx)(9 - 11x²) = -22x। चूंकि x = (3)/(√11) > 0, (d²A)/(dx²) = -22 ((3)/(√11)) < 0। दूसरा अवकलज ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि x = (3)/(√11) पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

यह पुष्टि करने के लिए कि यह एक अधिकतम है, हम दूसरा अवकलज ज्ञात करते हैं। (d²A)/(dx²) = (d)/(dx)(9 - 11x²) = -22x। चूंकि x = (3)/(√11) > 0, (d²A)/(dx²) = -22 ((3)/(√11)) < 0। दूसरा अवकलज ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि x = (3)/(√11) पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

अब हम x = (3)/(√11) के मान को क्षेत्रफल फलन A(x) = 9x - (11)/(3) x³ में प्रतिस्थापित करते हैं। A((3)/(√11)) = 9((3)/(√11)) - (11)/(3)((3)/(√11))³ = (27)/(√11) - (11)/(3)((27)/(11√11)) = (27)/(√11) - (9)/(√11) = (18)/(√11)

अब हम x = (3)/(√11) के मान को क्षेत्रफल फलन A(x) = 9x - (11)/(3) x³ में प्रतिस्थापित करते हैं। A((3)/(√11)) = 9((3)/(√11)) - (11)/(3)((3)/(√11))³ = (27)/(√11) - (11)/(3)((27)/(11√11)) = (27)/(√11) - (9)/(√11) = (18)/(√11)

Consider the region $R = \left\{(x, y): x \leq y \leq 9 - \frac{11}{3} x^2, x \geq 0\right\}$ . The area, of the largest rectangle of sides parallel to the coordinate axes and inscribed in $R$ , is:

Answer: $\frac{18}{\sqrt{11}}$

Step-by-step solution

Step 1: क्षेत्र को समझना और आयत का क्षेत्रफल निर्धारित करना

हमें उस क्षेत्र $R$ पर विचार करना है जो असमानताओं $x \leq y \leq 9 - \frac{11}{3} x^2$ और $x \geq 0$ द्वारा परिभाषित है। हमें इस क्षेत्र में अंकित एक आयत का अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करना है, जिसकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। आयत के शीर्ष $(0{,}0)$ , $(x,0)$ , $(x,y)$ और $(0,y)$ होंगे। चूंकि $x \geq 0$ और $y \geq x$ , आयत का एक शीर्ष $(x,y)$ वक्र $y = 9 - \frac{11}{3} x^2$ पर स्थित होगा। आयत का क्षेत्रफल $A = x \cdot y$ होगा।

Step 2: क्षेत्रफल को एक चर के फलन के रूप में व्यक्त करना

चूंकि आयत का शीर्ष $(x,y)$ वक्र $y = 9 - \frac{11}{3} x^2$ पर स्थित है, हम $y$ को $x$ के पदों में प्रतिस्थापित कर सकते हैं। इससे आयत का क्षेत्रफल $A(x) = x \left(9 - \frac{11}{3} x^2\right)$ हो जाता है। इसे सरल करने पर हमें $A(x) = 9x - \frac{11}{3} x^3$ मिलता है।

Step 3: अधिकतम क्षेत्रफल के लिए अवकलज ज्ञात करना

अधिकतम क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, हमें $A(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलज ज्ञात करना होगा और उसे शून्य के बराबर सेट करना होगा। $A(x) = 9x - \frac{11}{3} x^3$ का अवकलज $\frac{dA}{dx} = 9 - \frac{11}{3} (3x^2) = 9 - 11x^2$ है।

Step 4: क्रांतिक बिंदु ज्ञात करना

अधिकतम या न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए, हम $\frac{dA}{dx}$ को शून्य के बराबर सेट करते हैं। $9 - 11x^2 = 0 \implies 11x^2 = 9 \implies x^2 = \frac{9}{11}$ । चूंकि $x \geq 0$ , हम $x = \sqrt{\frac{9}{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$ लेते हैं।

Step 5: अधिकतम क्षेत्रफल की पुष्टि करना

यह पुष्टि करने के लिए कि यह एक अधिकतम है, हम दूसरा अवकलज ज्ञात करते हैं। $\frac{d^2A}{dx^2} = \frac{d}{dx}(9 - 11x^2) = -22x$ । चूंकि $x = \frac{3}{\sqrt{11}} > 0$ , $\frac{d^2A}{dx^2} = -22 \left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right) < 0$ । दूसरा अवकलज ऋणात्मक है, जिसका अर्थ है कि $x = \frac{3}{\sqrt{11}}$ पर क्षेत्रफल अधिकतम है।

Step 6: अधिकतम क्षेत्रफल की गणना करना

अब हम $x = \frac{3}{\sqrt{11}}$ के मान को क्षेत्रफल फलन $A(x) = 9x - \frac{11}{3} x^3$ में प्रतिस्थापित करते हैं। $A\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right) = 9\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right) - \frac{11}{3}\left(\frac{3}{\sqrt{11}}\right)^3$ $= \frac{27}{\sqrt{11}} - \frac{11}{3}\left(\frac{27}{11\sqrt{11}}\right)$ $= \frac{27}{\sqrt{11}} - \frac{9}{\sqrt{11}}$ $= \frac{18}{\sqrt{11}}$

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Consider the region R={(x,y):x≤y≤9−113x2,x≥0}R = \left\{(x, y): x \leq y \leq 9 - \frac{11}{3} x^2, x \geq 0\right\}R={(x,y):x≤y≤9−311​x2,x≥0}. The area, of the largest rectangle of sides parallel to the coordinate axes and inscribed in RRR, is: