यदि अनुक्रम अभिसरित होता है, तो n → ∞ के रूप में a_n और a_n+1 दोनों एक ही सीमा L पर अभिसरित होंगे।

यदि अनुक्रम अभिसरित होता है, तो n → ∞ के रूप में a_n और a_n+1 दोनों एक ही सीमा L पर अभिसरित होंगे।

हम दिए गए पुनरावृत्ति संबंध में सीमा लागू करते हैं: a_n+1 = 1 + (1)/(a_n)। जब n → ∞, तो L = 1 + (1)/(L)।

हम दिए गए पुनरावृत्ति संबंध में सीमा लागू करते हैं: a_n+1 = 1 + (1)/(a_n)। जब n → ∞, तो L = 1 + (1)/(L)।

Consider the sequence defined by a₁ = 1, aₙ₊₁ = 1 + 1/aₙ. Prove that this sequence converges and find its limit.

Answer: अनुक्रम $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ पर अभिसरित होता है।

Step-by-step solution

Step 1: अनुक्रम के पहले कुछ पद ज्ञात करना

सबसे पहले, हम अनुक्रम के पहले कुछ पदों की गणना करते हैं ताकि इसके व्यवहार का अनुमान लगा सकें। हम देखते हैं कि पद $1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, \dots$ हैं।

Step 2: अभिसरण के लिए सीमा मान लेना

यदि अनुक्रम अभिसरित होता है, तो $n \to \infty$ के रूप में $a_n$ और $a_{n+1}$ दोनों एक ही सीमा $L$ पर अभिसरित होंगे।

Step 3: सीमा समीकरण स्थापित करना

हम दिए गए पुनरावृत्ति संबंध में सीमा लागू करते हैं: $a_{n+1} = 1 + \frac{1}{a_n}$ । जब $n \to \infty$ , तो $L = 1 + \frac{1}{L}$ ।

Step 4: सीमा के लिए हल करना

हम सीमा समीकरण को $L$ के लिए हल करते हैं। यह एक द्विघात समीकरण है, जिसे हम द्विघात सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

Step 5: सही सीमा का चयन करना

चूंकि अनुक्रम के सभी पद धनात्मक हैं ( $a_1 = 1$ , और यदि $a_n > 0$ , तो $a_{n+1} = 1 + 1/a_n > 1 > 0$ ), इसलिए सीमा भी धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए, हम धनात्मक मान $L = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ चुनते हैं। यह सुनहरा अनुपात है।

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