Consider the sets ϕ, A = \{ 1, 3 \}, B = \{1, 5, 9\}, C = \{1, 3, 5, 7, 9\}. Insert the symbol ⊆ or ot⊂ between each of the following pair of sets: (i) ϕ . . . B (ii) A . . . B (iii) A . . . C (iv) B . . . C
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Step-by-Step Solution
Step 1: उपसमुच्चय की परिभाषा
एक समुच्चय A को समुच्चय B का उपसमुच्चय (subset) कहा जाता है, यदि A का प्रत्येक अवयव B में भी हो। इसे ⊆ प्रतीक से दर्शाया जाता है। यदि A का कोई भी अवयव B में नहीं है, तो इसे ⊂ प्रतीक से दर्शाया जाता है।
Step 2: रिक्त समुच्चय और B के बीच संबंध
रिक्त समुच्चय ϕ में कोई अवयव नहीं होता है। परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए, ϕ समुच्चय B का उपसमुच्चय है।
Step 3: A और B के बीच संबंध
समुच्चय A={1,3} और B={1,5,9} दिए गए हैं। समुच्चय A में अवयव 3 है, जो समुच्चय B में नहीं है। इसलिए, A समुच्चय B का उपसमुच्चय नहीं है।
Step 4: A और C के बीच संबंध
समुच्चय A={1,3} और C={1,3,5,7,9} दिए गए हैं। समुच्चय A के दोनों अवयव 1 और 3 समुच्चय C में भी मौजूद हैं। इसलिए, A समुच्चय C का उपसमुच्चय है।
Step 5: B और C के बीच संबंध
समुच्चय B={1,5,9} और C={1,3,5,7,9} दिए गए हैं। समुच्चय B के सभी अवयव 1,5,9 समुच्चय C में भी मौजूद हैं। इसलिए, B समुच्चय C का उपसमुच्चय है।