Consider the sets ϕ\phi, A = \{ 1, 3 \}, B = \{1, 5, 9\}, C = \{1, 3, 5, 7, 9\}. Insert the symbol ⊆\subseteq or ot⊂ot\subset between each of the following pair of sets: (i) ϕ\phi . . . B (ii) A . . . B (iii) A . . . C (iv) B . . . C

Answer: (i) ϕ⊆B\phi \subseteq B \\ (ii) A⊄BA \not\subset B \\ (iii) A⊆CA \subseteq C \\ (iv) B⊆CB \subseteq C

Step-by-step solution

Step 1: उपसमुच्चय की परिभाषा

एक समुच्चय AA को समुच्चय BB का उपसमुच्चय (subset) कहा जाता है, यदि AA का प्रत्येक अवयव BB में भी हो। इसे ⊆\subseteq प्रतीक से दर्शाया जाता है। यदि AA का कोई भी अवयव BB में नहीं है, तो इसे ⊄\not\subset प्रतीक से दर्शाया जाता है।

Step 2: रिक्त समुच्चय और B के बीच संबंध

रिक्त समुच्चय ϕ\phi में कोई अवयव नहीं होता है। परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय प्रत्येक समुच्चय का उपसमुच्चय होता है। इसलिए, ϕ\phi समुच्चय BB का उपसमुच्चय है।

Step 3: A और B के बीच संबंध

समुच्चय A={1,3}A = \{1, 3\} और B={1,5,9}B = \{1, 5, 9\} दिए गए हैं। समुच्चय AA में अवयव 33 है, जो समुच्चय BB में नहीं है। इसलिए, AA समुच्चय BB का उपसमुच्चय नहीं है।

Step 4: A और C के बीच संबंध

समुच्चय A={1,3}A = \{1, 3\} और C={1,3,5,7,9}C = \{1, 3, 5, 7, 9\} दिए गए हैं। समुच्चय AA के दोनों अवयव 11 और 33 समुच्चय CC में भी मौजूद हैं। इसलिए, AA समुच्चय CC का उपसमुच्चय है।

Step 5: B और C के बीच संबंध

समुच्चय B={1,5,9}B = \{1, 5, 9\} और C={1,3,5,7,9}C = \{1, 3, 5, 7, 9\} दिए गए हैं। समुच्चय BB के सभी अवयव 1,5,91, 5, 9 समुच्चय CC में भी मौजूद हैं। इसलिए, BB समुच्चय CC का उपसमुच्चय है।

Solve your own maths question free →