Consider two vectors u=3i−j and v=2i+j−λk,λ>0. The angle between them is given by cos−1(275). Let v=v1+v2 where v1 is parallel to u and v2 is perpendicular to u. Then the value of | v1∣2+∣v2∣2 is:
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Step-by-Step Solution
Step 1: सदिशों के परिमाण ज्ञात करें
सबसे पहले, हम दिए गए सदिशों u और v के परिमाण ज्ञात करते हैं। सदिश का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है।
Step 2: डॉट उत्पाद और कोण का उपयोग करके λ ज्ञात करें
दो सदिशों के बीच का कोण उनके डॉट उत्पाद और उनके परिमाणों के गुणनफल से संबंधित होता है। हम दिए गए कोण और पहले से ज्ञात परिमाणों का उपयोग करके λ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
Step 3: λ का मान ज्ञात करें
दिए गए डॉट उत्पाद और कोण के सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम λ के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को हल करने पर हमें λ=3 मिलता है, क्योंकि λ>0 दिया गया है।
Step 4: ∣v1∣2+∣v2∣2 का मान ज्ञात करें
चूंकि v1 सदिश u के समानांतर है और v2 सदिश u के लंबवत है, और v=v1+v2, तो सदिश v1 और v2 एक दूसरे के लंबवत होंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ∣v∣2=∣v1∣2+∣v2∣2 होगा।
Step 5: अंतिम मान की गणना करें
अब हम λ का मान ∣v∣2 के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें ∣v∣2 का मान 14 प्राप्त होता है, जो कि ∣v1∣2+∣v2∣2 के बराबर है।