Consider two vectors u=3i−j\mathbf{u}=3\mathbf{i}-\mathbf{j} and v=2i+j−λk,λ>0\mathbf{v}=2\mathbf{i}+\mathbf{j}-\lambda\mathbf{k}, \lambda > 0. The angle between them is given by cos⁡−1(527)\cos^{-1}\bigl(\tfrac{\sqrt{5}}{2\sqrt{7}}\bigr). Let v=v1+v2\mathbf{v}=\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2 where v1\mathbf{v}_1 is parallel to u\mathbf{u} and v2\mathbf{v}_2 is perpendicular to u\mathbf{u}. Then the value of | v1∣2+∣v2∣2\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 is:

Answer: 14

Step-by-step solution

Step 1: सदिशों के परिमाण ज्ञात करें

सबसे पहले, हम दिए गए सदिशों u\mathbf{u} और v\mathbf{v} के परिमाण ज्ञात करते हैं। सदिश का परिमाण उसके घटकों के वर्गों के योग का वर्गमूल होता है।

Step 2: डॉट उत्पाद और कोण का उपयोग करके λ\lambda ज्ञात करें

दो सदिशों के बीच का कोण उनके डॉट उत्पाद और उनके परिमाणों के गुणनफल से संबंधित होता है। हम दिए गए कोण और पहले से ज्ञात परिमाणों का उपयोग करके λ\lambda का मान ज्ञात कर सकते हैं।

Step 3: λ\lambda का मान ज्ञात करें

दिए गए डॉट उत्पाद और कोण के सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम λ\lambda के लिए एक समीकरण प्राप्त करते हैं। इस समीकरण को हल करने पर हमें λ=3\lambda = 3 मिलता है, क्योंकि λ>0\lambda > 0 दिया गया है।

Step 4: ∣v1∣2+∣v2∣2|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 का मान ज्ञात करें

चूंकि v1\mathbf{v}_1 सदिश u\mathbf{u} के समानांतर है और v2\mathbf{v}_2 सदिश u\mathbf{u} के लंबवत है, और v=v1+v2\mathbf{v} = \mathbf{v}_1 + \mathbf{v}_2, तो सदिश v1\mathbf{v}_1 और v2\mathbf{v}_2 एक दूसरे के लंबवत होंगे। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, ∣v∣2=∣v1∣2+∣v2∣2|\mathbf{v}|^2 = |\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 होगा।

Step 5: अंतिम मान की गणना करें

अब हम λ\lambda का मान ∣v∣2|\mathbf{v}|^2 के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं। इससे हमें ∣v∣2|\mathbf{v}|^2 का मान 14 प्राप्त होता है, जो कि ∣v1∣2+∣v2∣2|\mathbf{v}_1|^2 + |\mathbf{v}_2|^2 के बराबर है।

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